1_6354522_1.正方体中几何体的三视图

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 正方体中几何体的三视图 三视图还原几何体 的 一 个 母题模型 “给出 几何体 的 三视图 ,求 几何体 的相关量 (最大、最小棱长、侧面积、表面积和体积等 )”问题是高考的热点 ,其中 ,以正方体为母体 ,构造正方体中 几何体 的 三视图 是高考命题的常用手法 . 方法 母题 :(2014 年 课 标 高考试题 )如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画 出的是某 多面体的三视图 ,则该多面体的个条棱中 ,最长的棱的长度为 ( ) (A)6 2 (B)4 2 (C)6 (D)4 解题 程序 :在 如图 所示 的棱长为 4 的正方体中 ,由 正 视图 和俯 视图 确定棱 正 视图 和侧 视 图 确 定棱 D,三视图 还 原 的 几何体为三棱锥 中 C=4, 2 ,D=2 5 , 4)24( 2 =6 最长的棱的长度为 C). 面体 子题类型 :(原创 题 )某四 面体 的三视图如图所示 ,则这个几何体的体积是 ( ) (A)34(B)2 (C)38(D)310解析 :在 如图 所示 的棱长为 2 的正方体 由 正 视图 和俯 视图 确定棱 正 视 图 和侧 视图 确定棱 1C, 三视图 还 原 的 几何体为 四 面体 体积 =正方体 1积 三 棱锥 =81 2 2 2=C). 点评 :对 正方体的内接四面体 (即以正方体的顶点为顶点的四面体 )三视图 :要掌握 正方体的 内接四面体的 类型 ;各类型 的内接四面体的三视图 特点 . 棱锥 子题类型 :(2015 年 北京 高考试题 )某四棱锥的三视图如图所示 , 该四棱锥最长棱的棱长为 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 解析 :在 如图 所示 的棱长为 1的正方体中 ,由 正 视图 和俯 视图 确定棱 D, 视图 和侧 视图 确定棱 三视图 还 原 的 几何体为 四 棱锥 中 C= 2 ,3 最长的棱的长度为 3 C). 点评 :以正方体的顶点为 其部分 顶点的四 棱锥 可分为 : 以正方体的 底面为底面 ,顶点在 正方体的 上表面上 的四 棱锥 ; 以正方体 共面 的 四顶点为顶点 的四 棱锥 . 函数 子题类型 :(2014 年安徽高考试题 )一个多面体的三视图如图所示 , 则该多面体的表面积为 ( ) (A)21+ 3 (B)18+ 3 (C)21 (D)18 解析 :由 多面体的三视图 ,借棱长为 2 的正方体可得 此多面体的直观图如下图所示 : 表面积为 2 2 6(正方体 的表面积 )1 1 6(6个腰长 =1的等 腰直角三角形 的 面积 )+43( 2 )2 2(2个边长为 2的正三角形 的 面积 )=21+ 3 A). 点评 :将正方 体截去 部分后 ,构造 剩余部分的三视图 是高考命题的常用方法 ;解答该类问题的有力方法是在 正方 体中寻找构造几何体的直观图 . 1.(2013 年 湖 北 高考试题 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形 ,则该正 方体的正视图的面积 不可能 等于 ( ) (A)1 (B) 2 (C)2 12(D)2 122.(2013 年 课 标 高考试题 )一个四面体的顶点在空间直角坐标 系 O 的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的 正视图时 ,以 面为投影面 ,则得到 的正视图可以为 ( ) 3.(2007 年 高考 课 标 试题 文科 第 8 题 第 8 题 )己知某个几何体的三视 图如下 ,根据图中标出的尺寸 (单位 :可得这个几何体的体积是 ( ) (A)3400 (B)3800C)2000 (D)4000.(2010 年辽宁高考试题 )如图网格纸的 小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了 某多面体的三视图 ,则这个多面体最长的一条棱的长为 . 5.(2013 年 山东 高考试题 )一个四棱锥的侧棱长都相等 ,底面是正方形 , 其正 (主 )视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) (A)4 5 ,8 (B)4 5 ,38(C)4( 5 +1),38(D)8,8 6.(2012 年陕西高考试题 )将正方形 (如图 1 所示 )截去两个三棱锥 ,得到图 2 所示的几何体 ,则该几何体的左视图为 ( ) 7.(2011 年安徽高考试题 )一个空间几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的表面积为 ( ) (A)48 (B)32+8 17 (C)48+8 17 (D)80 8.(2013 年 广东 高考试题 )(理 )某四棱台的三视图如图 1 所示 , 则该四棱台的体积是 ( ) (A)4 (B)314(C)316(D)6 9.(2014 年安徽 高考试题 )一个多面体的三视图如图所示 , 则多面体的体积是 ( ) (A)323(B)647(C)6 (D)7 图 1俯视图侧视图正视图1112210.(2014 年 辽宁 高考试题 )某几何体三视图如图所示 , 则该几何体的体积为 ( ) (A)8 (B)8(C)8D)81.(2015 年 课 标 高考试题 )一个正方体被一个平面截去一部分后 , 剩余部分的三视图如右图 ,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) (A)81(B)71(C)61(D) 由 俯视图是一个面积为 1的正方形 正视图 的 面积 1, 2 C). 设 O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,1,0),C(1,0,1),在空间直角坐标系中 ,先画出 四面体 直观图 A). 根据题给条件 ,在正方体中 还原几何体知 ,该几何体是一个高为 20、 底面为正方形 (边为 20)的四棱锥 ,所以 ,该几何体的体积 V=31 20 20 20= 3800(故选 (B). 由三视图可知 ,此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥 ,所以最长棱长= 222 222 =2 3 . 由正 (主 )视图数据可知正四棱锥的底面是边长为 2 的正方形 ,高也是 2,如图 :由图可知 , 5 侧面积 =421 2 5 =4 5 ;体积 V=31 4 2=B). 由 直观图 左 视图 为 (B) (B). 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 ,下底为 4,高为 4 底面积 =21(2+4)4=12;腰长为 = 241 = 17 底面周长 =2+4+2 17 =6+2 17 侧面积 =4(6+2 17 )=24+8 17 几何体的表面积 =212+24+8 17 =48+8 17 C). 由三视图可知 ,该四棱台的上下底面边长分别为 1和 2的正方形 ,高为 2,故 四棱台的体积 V=31(12+22+1 2) 2=B). 由三视图可知 ,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体 ,如图 : 正方体棱长为 2,正三棱锥侧棱互相垂直 ,侧棱长 为 1,故几何体的体积 V=V 正方体 锥侧 23121 1 1 1=A). 由三视图知