3_8064928_16.不等式恒成立的典型方法

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 733 中国 高考数学母题 (第 206 号 ) 不等式恒成立的典型方法 对“ 己知不等式恒成立 ,求参数 取值范围 ” 的 问 题 ,不仅要掌握常见的 等价命题 ,更重要的是掌握解决问 题 的 典型方法及其 解题程序 . 母题结构 :( )(分离参数法 )分离参数法 的解题程序 : 分离参数 :对不等式 F(x,c) 0进行等价变形 ,使得 F(x,c)0 f(x) ( )g(c),其中 ,函数 f(x)不 含参数 c; 最大 (小 )值 :求 函数 f(x)的 最大 、 最 小 值 ; 根据 最值转化 定理 求解 ; ( )(分类讨论法 )分类讨论 的 主体是 函数 f(x)的导函数 f (x),对象是 f (x)中的参数 ,有三种 类 型 : 导函数 f (x)中 参数 可分离 ; 导函数 f (x)的零点中含 参数 ; 导函数 f (x)的零点 不确定 . ( )(放缩 分析 法 )放缩 分析 法 的基本思想是对函数 f(x)中部分式进行放缩 ,先证明参数 a 函数 f(x) 0恒成立 ,再证明当 a A 时 ,结论不成立 ,由此可得 a 的取值范围就是 A. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2008 年安徽高考试题 )设函数 f(x)=x0,且 x 1).( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )己知 x (0,1)成立 ,求实数 a 的取值范围 . 解析 :( )f (x)=xx x 22,由此可知 ,函数 f(x)的单调增区间是 (0,单调减区间为 ()和 (1,+ ); ( )当 x (0,1)时 , xa 2f(x) ,由 ( )知 ,当 x (0,1)时 ,函数 f(x)的最大值 =f(以 ,不等式 2实数 a 的取值范围是 ( ). 点评 :分离参数法 的 先决条件是 参数 可以分 离 出来 ,等价变形是 分离参数 的 核心 ,求函数 f(x)的 最大、最小值 ,是利用分离参数法 ,求参数取值范围 的中心 . 同 类 试题 : 1.(2008 年 湖南 高考试题 )已知 f(x)=+x)2.( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )若不等式 (1+n1)n+a e 对任意的 n N*都成立 (其中 e 是自然对数的底数 ),求 a 的最大值 . 2.(2012 年课标高考试题 )设函数 f(x)= )求 f(x)的单调区间 ; ( )若 a=1,k 为整数 ,且当 x0时 ,(f (x)+x+10,求 k 的 最大值 . 子题类型 :(2011年 课标 高考试题 )已知函数 f(x)=1lnx xa+线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为 x+2. ( )求 a、 b 的值 ; ( )如果当 x0,且 x 1 时 ,f(x)1lnxx+ k 的取值范围 . 解析 :( )由 f(1)=1,f (1)=b=1,221 a=b=1; ( )由 f(x)1lnxx+ 211x21)(1( 2 0;令 g(x)=21)(1( 2 ,则 g (x)=21xk()-(; 734 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 当 k 0 时 ,g (x) 0 g(x)在 (0,+ )上单 调递减 ,又 g(1)=0; 当 x (0,1)时 ,g(x)0211xg(x)0 f(x)1ln 当 x (1,+ )时 ,g(x)0 f(x)1lnxx+当 00,且对称轴 x=k111 当 x (1,k11)时 ,y0 g (x)0 g(x)在 (1,k11)上单 调递 增 g(x)g(1)=0,不 合题设 ;当 k 1时 ,g (x)=21x()+2x21x( 2x+2x0 g(x)在 (0,+ )上单 调递 增 g(x)g(1)=0,不 合题设 k 的取值范围 是 (- ,0. 点评 :对 于含参数 a 的 函数 不等式 f(x) 0 在区间 D 内恒成立 ,求参数 a 的取值范围 ;若 导函数 f (x)在区间 D 内 的零点不确定 ,则导函数 f (x)在区间 D 内 是否 存在 零点是分类讨论的 第一 标 准 . 同 类 试题 : 3.(2016 年 全国 高考 甲 试题 )已知函数 f(x)=(x+1)( )当 a=4 时 ,求曲线 y=f(x)在 (1,f(1)处的切线方程 ; ( )若当 x (1,+ )时 ,f(x)0,求 a 的取值范围 . 4.(2016 年 四川 高考试题 )设函数 f(x)=g(x)=中 a R,e=为自然对数的底数 . ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )证明 :当 x1 时 ,g(x)0; ( )确定 a 的所有可能取值 ,使得 f(x)g(x)在区间 (1,+ )内恒成立 . 子题类型 :(2013 年 辽宁 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1时 , ( )求证 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . 解析 :( )当 x 0,1时 ,由 1f(x) (1+x)(1-x) h(t)=(1-t)et,t ,则 h (t)=当 t0,1时 ,h (t) 0 h(x) h(0)=1;当 t 时 ,h (t) 0 h(h(t) h(0)=1 h( h(x) (1+x)1-x)1f(x);又由 f(x)x11 (1+x)x11 (1+x)2 x+1成立 ; ( )由 f(x)-g(x)=(1+x)3x+1+2 (1(3x+1+2-x(a+1+22x+2设 G(x)=22x+2 G (x)=G (x)=1x 0,1) ,f(x)g(x) 在 0,1上不恒成立 ;由 f(x)-g(x) =(1+x)3x+1+2x11-(3x+1+2-x(x11+a+22x+2令 H(x)=x11+a+22x+2x11+a+G(x),则 H (x)=( 1x+G (x)a+30 存在 0,1),使得 H(0,此时 f(,且 f(x)在区间 (0,1上单调递增 ,试用 a 表示出 b 的取值范围 . 8.(2015年 重庆 高考试题 )设函数 f(x)=xe 23 (a R).( )若 f(x)在 x=0处取得极值 ,确定 并求此时曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程 ; ( )若 f(x)在 3,+ )上为减函数 ,求 a 的取值范围 . 9.(2010 年天津高考试题 )已知函数 f(x)=(x R),其中 a0.( )若 a=1,求曲线 y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程 ; ( )若在区间 1上 ,f(x)0 恒成立 ,求 a 的取值范围 . 10.(2010 年全国 高考试题 )设函数 f(x)=1( )证明 :当 x ,f(x)1 ( )设当 x 0 时 ,f(x)1 a 的取值范围 . ( )f(x)在 ()上 递增 ,在 (0,+ )上 递减 ;( )由 (1+n1)n+a e (n+a)+ 1(设 x=(0,1) a )1x g(x)=)1xx (0,1),则 g (x)=)1( 1 2 xx x f(x)0 时 ,f(x)在 (- , 递 减 ,f(x)在 ( )上 递增 ; ( )当 a=1时 ,f (x)=以 ,当 x0时 ,(f (x)+x+10 则 g (x)=2)1( e(由 f(1)=f(x),即 g (x)在 (1,2)内存在唯一的零点 ,且是 g(x)的极小值点 ,也是 g(x)的最小值点 ;由 g ( )=0 +2 g( )=11e+ =1+ (2,3) k 的 最大值 =2. ( )切线 :2x+;( )当 x (1,+ )时 ,f(x)0 ;令 g(x)= g (x)=22)1( 1)1(2 xx g(1)=0; 当 a 2 时 ,g(x)g(1)=0; 当 a2 时 ,g(x)在 (1,1)1( 2 a )上 递减 g(x)0时 ,f(x)在 (0, 递 减 ,在 ( )上 递 增 ;( )g(x)0 当x1 时 ,exx+1;( )当 x1 时 ,g(x)0 f(x)0 a0; 当 011x()21x()0 h(x)在 (1,+ )上单 调递 增 h(x)h(1)=a 的取值范围 是 21,+ ). 736 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )略 ;( )由 f(x) 1+f( ) 1 1 1 a2;当 x 0,2时 ,由 y=y=2x 的图像知 , 2x 当 x 0,2时 ,f(x)=ax+2x+; 当 x 2, 时 ,f(x)=ax+2x+ 2( 1+=1 1+a 的取值范围 是 (- ,2. ( )略 ;( )当 x 0,1时 ,ax+3x+2(x+2)a+2)x+3x+2)(a+2)x+3x+2)(42x)2 =(a+2)x,所以 ,当 a ,不等式 ax+3x+2(x+2)4 对 x 0,1恒成立 ;证明 :当 a不等式 ax+3x+ 2(x+2)4;因为当 x 0,1时 ,ax+3x+2(x+2)a+2)x+3x+2)(a+2)x+3x+2)(2x)2 =(a+2)(a+2)23xa+2) 存在 (0,1)(例如 满足 30x+ 2()即当 a不等式 ax+3x+2(x+2)4对 x 0,1不恒成立 - , ( )f(x)取得极值 (2b)2 b2a;( )由 f(x)在区间 (0,1上 递增 当 x (0,1时 ,f (x)= 0 (a0),即 b ax+成立 ;设 g(x)=ax+ g (x)=2xa(x+ 当g(x)在 (0, 递减 ,在 ()上 递 增 x)=g(2 a b - a ; 当1,即 01 时 ,b - a ;当 00恒成立 f(0,且 f(21)0 f(x)在 ()和 (1)上单调递增 ,在 (0,单调递减 ;所 以 ,在区间 1上 ,f(x)0 恒成立 f(0,且f(0 a 0 f(x)1()f(x)0;令 g(x)=()f(x)-x,x 0,则 g (x)=af(x)+(x)+f (x)-1=af(x)x)+x);当 0