1_6354494_22.错位相减法不是唯一方法

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 错位相减法不是唯一方法 “等差乘等比型”数列求和的导数方法 若 等差数列 ,等比数列 ,错位相减法 虽是 求数列 n 项和的 成熟方法 ,但不是唯一方法 ,且有多种方法 ,其中 ,导数法就 是 一种较绝妙的通法 . 母题结构 :当 x 1 时 ,求证 :( )x+2 +1( xx)1( ( )(a+b)x+(2a+b)3a+b) +(an+b)中 ,A=1=( 解 题 程序 :当 x 1 时 ,( )由 x+ +1x 边求导得 :1+2x+ +1)1( )()1(1)1( x 11x n ( 1x)1( 1x,两边同乘 x 得 :x+2 +1( xx)1( ( )由 (a+b)x+(2a+b)3a+b) +(an+b)xn=a(x+2 +b(x+x2+ +1( )1( )1( 1( )1( 当 A=1=( (a+b)x+(2a+b)3a+b) +(an+b)B)子题类型 :(2013 年山东 高考试题 )设 等差 数列 前 n 项和为 4=4S2,. ( )求数列 通项公式 ; ( )若 数列 足1122 +1- n N+,求 前 n 项和 解析 :( )设 等差 数列 公差为 d,由 =0;又由 ,d=2 ( )由1122 +1- 1121 221 )n;当 x 1 时 ,由 x+ +1x 边求导得 :1+2x+11( 1x)1( 1x,两边同乘 x+2 +1( xx)1( 221)n=2n(21)n -(21)n (21)n+2-1-(21)n=3-(2n+3)(21)n. 点评 :利用导数法的 关键是推导母题 ( )中的等式 ,然后 ,利用 母题 ( )中的分组求和方法求和 . 子题类型 :(2005年 山东 高考 理科 试题 )已知数列 首项 ,前 n 项和为 =2Sn+n+5(n N*). ( )证明 :数列 是等比数列 ; ( )令 f(x)= +函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f (1),并比较 2f (1)与 23大小 . 解析 :( )由 =2Sn+n+5 n+4 =(1=2 +1=2() 数列 是等比数列 ; ( )由 ( )知 , 2 x 1 时 ,由 x+ +1x 边求导得 :1+2x+ +11( 1x)1( 1x;由 f(x)= +f (x)= +f (1)= +(1+2 2+ +n 2(1+2+ +n)=6(2n+61( 2f (1)-(2312(2n+1);当 n 3 时 ,2n=(1+1)n1+2n+1;当 n=1 时 ,2f (1)= (23当 n=2 时 ,2f (1)(23 点评 :恒等式 1+2x+ +11( 1x)1( 1x,具有记忆价值 ,以达到快速解题之目的 . 子题类型 :(2006 年安徽高考试题 )数列 前 n 项和为 知 1,Sn=n=1,2,. ( )写出 n2), 并求 n 的表达式 ; ( )设 fn(x)=,bn=f n(p)(pR), 求数列 前 n 项和 解析 :( )当 n2 时 ,由 Sn= Sn=n( 22 n=1 2( )由 fn(x)= f n(x)=bn=f n(p)=Tn=p+2+np n;当 p=1 时 ,+2+3+n=21n(n+ 1);当 x 1时 ,由 x+ +1x 边求导得 :1+2x+ +11( 1x)1( 1x 当 p 1时 ,1)1( 1p)1( 1p. 点评 :数列 和的实质是灵活运用 恒等式 1+2x+ +11( 1x)1( 1x. 1.(2005年天津高考试题 )若公比为 c 的等比数列 首项 ,且满足 21 nn aa(n=3,4, ). ( )求 c 的值 ; ( )求数列 前 n 项和 2.(2007年 山东 高考试题 )设数 列 足 :2 +3n,n N*. ( )求 数 列 通 项 ; ( )设 bn=求 数 列 前 n 项 和 3.(2005年 山东 高考 文科 试题 )已知数列 首项 ,前 n,且 =2Sn+n+5(n N*). ( )证明 :数列 是等比数列 ; ( )令 f(x)= +函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f (1). 4.(2009年山东高考试题 )等比数列 前 n,己知对任意的 n N*,点 (n,在函数 y=bx+r(b0,且 b 1,b,的图象上 . ( )求 r 的值 ; ( )当 b=2时 ,记 bn=(n N*),求数列 前 n 项和 ( )c=1,或 c= )当