应用统计复习总结

第一章 抽样和抽样分布1.4 子样数字特征子样值的数字特征（子样数字特征的观察值） 子样均值 nix1子样方差 21212)(xnnsiiii 子样均方差 2121)(xiiin 修正子样方差 )()(212212* xnns niiniin 修正子样均方差 )()(2121*xiiniin 子样 k 阶原点矩 ikkA子样 k 阶中心矩 nikikxB1)(当子样值以频数分布给出时子样均值 liixmnx1*子样方差 21*21*2 )( xmns liiliin 子样均方差 21*21*)(xmliiliin 修正子样方差 )()(21*21*2* xnmns liiliin 修正子样均方差 )()( 21*21*xmliiliin 子样 k 阶原点矩 likikA1*子样 k 阶中心矩 li kikxmnB1*)(顺序统计量定义：子样 有子样值 ，将数据 由小),(21nX ),(21n nx,21到大重新排序后记为 ，将其视为随机变量 的观)()2(,nxx )()()X察值，则称 为 的顺序统计量,()()()1 ,21nX注： 不独立2,n子样中位数 及其观察值 :为 偶 数为 奇 数nXMen)12()1(子样极差 : iniininXRmax11)()( 2 一些常用的抽样分布2.1 分布2分布的定义 ： 是来自母体 的一个子样，则称2nX,21 )1,0(N服从自由度为 n 的 分布，记为：21X 2)(2n概率密度函数 )(xfn个个个 0 0 ,)2(1)(21xexnxf xn分布的性质：2 期望、方差： ，则 , )(2nnE)(2nD2)( 可加性，即：若 ， ，且 与 相互独立，则有11221)(221 极限性质：设 ，则对 有 的标准化变量 的分布函数nRx2n2满足： . )(xFn )(limxFn从而当 n 充分大时， ， .1,02N个)2,(2nN个 当 时, 45nu)(分布的上侧分位数2定义：设 ，则对于 ，存在唯一实数 ,使得)(2n个10)(2n)(22)(ndxfP称实数 为 的上 分位数)(2备注 ： 随机变量的上侧分位数定义：设 X 的分布密度为 , 则对 ，存在唯一实数 ,使得)(xf 个10x，称实数 为 X 的上侧 分位数xdfP)( 的上侧分位数1 ,0N定义：设 , 则 ，存在唯一实数 ，使)10(U个个1 0uudxP)()称实数 为 U 的上 分位数u求法： ，故： )(1)(1)( uUuP，反查标准正态分布函数表，可得 值.1)(2.2 分布t定义 ：设 ， ，且 与 相互独立，令 ，则称)1,0(NX)(2nYXYnYXT/服从自由度为 的 分布，记为：Tnt )(tT概率密度函数 ： )(tfn tntntfn ,)1(2)(21性质： 分布的极限分布是 .t )1,0(N很大时，若 ，则 .nntT)1,0(T近 似 )(1t)( 当 时, 45ut分布的上侧分位数t定义：设 ，则 存在唯一实数 ,使)(ntT个个10)(nt)(ntdxftTP称实数 为 T 的上 分位数)(nt2.3 分布F定义：设 ， ，且 与 相互独立， ，则称 服)(12nX)(2nYXY21/nYXF从自由度为 的 分布， 为第一自由度、 为第二自由度. 记为：,2112)(nF概率密度函数 ：(zf 时， 时 0 0 ,)1()(2)()( 22112 1zznznzf n性质： , 则 ;)(21nF),(12nF ;, ,Tt个 ),(),(12121nFn备注：当 较接近 1 时， 不能从附表 4 直接查到，故应查表求 ，,2 ),(121nF再用此公式计算 .),(22.4 抽样分布定理单个正态母体情形定理 1 设母体 X 有： 是 X 的一个子样，nXDE,)(,)( 212 是子样均值，则 ；2(), ()n特别，当 时， ， . ),(2NX),(2nNX (0,1)/XNn定理 2 是来自母体 的一个子样，则n,21 ,2 ；)1()(22*S 与 独立；X*n .)1(/*tSn两个正态母体情形定理 3 是来自母体 的一个子样， 是来自母1,21nX ),(21N2,21nY体 的一个子样， 相互独立，则)(NYY, ；)1,0()(21NnYX ；)1,(/212*12 nFSYX当 时， ，221)2()()(121*ntnSYXW其中： .)()(21*22 nSYXW大子样情形（子样容量 ）50n定理 4 是来自母体 的一个子样， ， ，则nX,21 50n)(XE；)1,0(/NS个 是来自母体 的一个子样， ， ，1,21n 501n1)(是来自母体 的一个子样， ， ， 相互独2Y 22YEX,立, 则 .)1,0()()(21NnSX个1.3 最大似然估计法当 为离散型母体X设母体 的分布律为 其中 的函数形式已知，但参数);()(xpXP);(xp（一维或多维）未知。若子样 有观测值 ，则已发生的事件 n,21 n,21的概率,21nxxXA niiniin xpXPXPL 1121 ;,)( 称为似然函数. 再求出使关于 的函数 取得最大值的 作为未知参数 的最大似然)(L估计.当 为连续型母体X设母体 的分布密度为 其中 的函数形式已知，但参数 （一维),;(xf );(xf 或多维）未知。子样 有观测值 ，则似然函数取为nX,21 n,21，再求使 取得最大值的 .niixfL1);()()(L1.4 用 和 估计正态母体的参数MeR正态母体中子样中位数 的渐进分布定理：设 是来自 的一个子样， 是子样中位数，则对于nX,21 ),(2NMe，有Rx)(2(limxnePn定理表明，当 充分大时， ，从而 ， )1,0(NM个)2,(nNMe个，neDeE2)(,)(且 越大时， 在 附近取值的概率越大。ne正态母体中子样级差 的期望和方差R定理：设 是来自母体 的一个子样， 是子样级差，则 nX,21 ),(2NR， ，从而有ndRE)( 2)(vD，)1(RdEn 2)(1(nndvD其中 与子样容量 有关，可查表 2-1（P41）.nvd,用 和 估计正态母体参数的方法MeR求 ：当 很大时，可取 .Me求 ： 当 时, 可取 ； 当 时, 取 估计10,32nRdn10Rdn1时误差会较大，为此（）将子样的 个值分成 组，每组数据不超过 10 个；nk（）求各组子样级差 ，再求平均级差),21(iRkiiR1（）取 ，其中 ，即每组中数据的个数.Rdn01kn02 估计量的评选标准2.1 无偏估计定义：设 是未知参数 的估计量，若 ，则称 是 的无偏估计)(E若 ，则称 是 的有偏估计)(E若 ，则称 是 的渐近无偏估计limn2.2 优效估计有效性定义：设 都是 的无偏估计，若对于任意子样容量 n 有 ，则称 比21, )(21D1有效2罗-克拉美（R-C）不等式(连续母体情形) 2);(lnXfEI 0);();(ln2dxfxf则有不等式 )(1ID此不等式称为 R-C 不等式， 称为 R-C 下界.)(nIR优效估计定义:若 的无偏估计 的方差达到 R-C 下界, 即 ，则称 是 的优效估计 RID)(2.3 相合估计 定义: 若当 时, , 则称 是 的相合估计(consistent estimator，nP或称为一致估计). 这样， 充分大时（即对于大子样） ， 与 充分接近几乎是必然的，从而可以用一次抽样所得的 去估计 . 结论：1) ， 分别是 的相合估计.X2nS2,2) 也是 的相合估计.2*n3 区间估计3.2 大子样对母体均值的区间估计设母体 的分布是任意的， 均存在且未知，从母体 中2)(,)(XDE X抽大子样 ，试以概率 对母体均值 作区间估50,21nX )1,0计解： 的点估计可取为 ；由中心极限定理知 ，但其中 是未知参数，注意到 是 )1,0( NnX个2S的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有2 )1,0( NnSXU个以此随机变量作为枢轴量.给定置信概率为 ，则存在 使1)10(,2u，即 2uUP12nSXP亦即 22unSX于是， 的置信概率为 的置信区间为 .1 ) ,(22nSuXnS3.3 正态母体均值的区间估计现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。问题：母体 , 未知,求 的置信概率为 的置信区间。)(2NX1)0(解: 的点估计可取为 ；X由抽样分布定理知 )1(*ntSTn以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则存在 ，使1)10()1(2nt，即)( 2ntTP 1)( 2*tnSXP亦即 )()1(*2*2 tnStXn故 的置信概率为 的置信区间为 )1( ,)1(*2*2 nStXStXn3.4 大子样对两母体均值之差的区间估计问题：设母体 的分布是任意的， 均存在且未知，独立地从iX2)(,)(iiii