物理竞赛牛顿运动定律

1、最新资料推荐竞赛专题二牛顿运动定律宋善炎严娇【基本知识】一、惯性系和牛顿运动定律1、惯性系牛顿定律成立的参考系叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。实验证明：地球参考系可以近似看做惯性系。相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系可视为惯性系。2、牛顿运动定律（ 1）牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态为止。任何物体都有保持自已原有运动状态不变的性质叫惯性。惯性是物体固有的属性，可用质量来量度，惯性是维持物体运动状态的原因，力是物体运动状态变化的原因（ 2）牛顿第二定律：在外力作用下，物体所获得的加速度的大小与所受合外力的大

2、小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，其数学表达式为Fma该定律只适用于质点或做平动的物体，只在惯性系中成立，遵从力的独立性原理（叠加原理）：作用在质点上的每一个力都各自产生对应的加速度，即Fima如在直角坐标系中，有分量式F xma xFymayFz maz在自然坐标系中，则有：F ma m dv , F manm v2dtn由加速度的定义，可以给出第二定律的微分形式m dvm d2r（ 3）牛顿第三定律Fdtdt 2当物体 A 以 F 1 作用在物体 B 上时，物体B 也必同时以F 2 作用在物体 B 上， F1 和 F 2 在同一直线上，大小相等而方向相反，数学表

3、达式为F1F2牛顿三定律只适用于宏观、低速（远小于光速）的机械运动。 v 3、牛顿定律在曲线中的应用（ 1）物体作曲线运动的条件：物体的初速度不为零，受到的合外力与初速F度不共线且指向曲线“凹侧”。如图该时刻物体受到的合外力F 与速度的夹角为满足的条件是 0o180o图 1，。（ 2）圆周运动物体做匀速圆周运动的条件是，物体受到始终与速度方向垂直、沿半径指向圆心、大小恒定的力作用，其大小是Fv2m2Rman mR变速圆周运动中，合外力在法线方向和切向方向都有分量，法向分量产生向心加速度v22RFrmarvFn man mm，切向分量产生切向加速度m。Rt1最新资料推荐（ 3）一般曲线运动与变速

4、圆周运动类似没在一般曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法向分量的大小为 Fnmanm v 2， R 为曲线在该处的曲率半径，切向分量的大小为RFmam v 。rrt二、非惯性系中的力学问题1、非惯性系相对惯性系做变速运动的参考系，牛顿运动定律不适用，称为非惯性系。2、惯性力F惯m a ，其中 a 是非惯性系相对惯性系的加速度。引入惯性力的概念后，牛顿方程在非惯性系中形式上得以成立，有FF惯ma，式中， F 为真实力，F惯 为惯性力， a为质点在非惯性系中的加速度，从产生的效果看，惯性力与真实力一样，都可以改变物体的运动状态,即产生加速度。惯性力的方向与非惯性系的加速度的方向相反，

5、F惯 具体形式与非惯性系的运动状态有关。（ 1）平动加速系中的惯性力在平动加速参考系中，惯mao，a为非惯性系的加速度。平动非惯性系中，惯Fo性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量决定，与质点的位置及质点相对于非惯性下速度无关。（ 2）匀速转动系统中的惯性力惯性力离心力在转动参考系中， F惯 m2r ，式中为转动系的角速度， r 为物体在转动系中的矢径三、万有引力天体的运动1、开普勒行星运动定律（ 1）开普勒第一定律也叫椭圆轨道定律，它的具体内容是：所有行星分别在大小不同的轨道上围绕太阳运动。太阳在这些椭圆的一个焦点上。（ 2）开普勒第二定律 ：对任意行星来说，他与太阳的连线（称为径矢）

6、在相等的时间内扫过相等的面积。（ 3）开普勒第三定律的具体表述是:行星绕太阳运动轨道半长轴a 的立方与运动周期Ta32k的平方成正比 T2、万有引力定律自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。如果用 m1 和 m2 表示两个物体的质量，用r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示m 1m 2F = G2r3、宇宙速度2最新资料推荐GM 地（ 1）第一宇宙速度v1 gR 7.9km/ s R地如果发射速度小于7.9km/s ，物体将落到地面，而不能成为一颗卫星；发射速度等于7.9km/s，它将在地面附近作匀速圆周运

7、动；要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于 7.9km/s。可见，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难。第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，所以也称为环绕速度。（ 2）第二宇宙速度v22GM 地2gR11.2 /s，使卫星挣脱地球的束缚，kmR地成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，也称为脱离速度。发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆；等于或大于11.2km/s 时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行。（ 3）第三宇宙速度v316.7km / s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，也称

8、为逃逸速度。发射速度大于 11.2km/s，而小于 16.7km/s，卫星绕太阳作椭圆运动，成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。【例题解析】例 1 如图 2-1 所示，已知物块A 、B 的质量分别为 m1、 m2 ， A 、 B 间的摩擦因数为1，A 与地面之间的摩擦因数为2，在水平力 F 的推动下， 要使 A 、B 一起运动而 B 不至下滑，力 F 至少为多大？图 2-1图 2-2解析 B 受到 A 向前的压力 N，要想 B 不下滑，需满足的临界条件是：1N=m 2g.设 B 不下滑时， A 、B 的加速度为 a，以 B 为

9、研究对象， 用隔离法分析， B 受到重力，A 对 B 的摩擦力、 A 对 B 向前的压力 N，如图2-2 所示，要想 B 不下滑，需满足：1N mg,即： mamg,所以加速度至少为a=g/ 12122再用整体法研究 A 、B，根据牛顿第二定律， 有：F 2121212（ m +m）g=(m +m )g=(m +m ) a,所以推力至少为F(m1 m2 )( 12 )g .1注释 隔离法 就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。例 2六个完全相同的长条薄片Ai Bi (i1、2、 6）依次架在水平碗口上，

10、 一端搁在碗口， 另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量） . 将质量为 m 的质点置于A 1A 6 的中点处，试求：A 1B 1 薄片对 A6B 6 的压力 .3图 3-1最新资料推荐解析 （递推法）本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B1 、A 2B2、 A 5B 5 的受力情况完全相同，因此将A 1B1、 A 2B2、 A 5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图3-2 所示，第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N i+1. 选碗边 B 点为轴，根据力

11、矩平衡有N iL N i 1L , 得 N iN i122图 3-2所以 N 1 1 N1 1 N 3( 1 )5 N 622222再以 A 6B6 为研究对象，受力情况如图3-2 所示， A 6B6 受到薄片 A 5B 5 向上的支持力N6 、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B1向下的压力N 1、质点向下的压力mg. 选 B6 点为轴，根据力矩平衡有N 1L3N 6LmgL24由、联立，解得mgN142图 3-3所以， A 1B1 薄片对 A 6B6 的压力为 mg .42例 3一根均匀柔软的绳长为L ，质量为 m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子

12、的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？图 4解析（微元法） 钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图 3 8 所示，当左边绳端离钉子的距离为x 时，左边绳长为1 (lx) ，2速度 v2gx ，右边绳长为 1 (lx).又经过一段很短的时间t 以后，左边绳子又有长度1V t 的一小22段转移到右边去了， 我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力 T 和它本身的重力1 v t g(m / l 为绳子的线密度） ，2根据动量定理，设向上方向为正(T1tg) t 0 (1v)vv t22由于 t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T

13、来说是很小的，可以忽略，所以有T1 v 2gx因此钉子对右边绳端的作用力为2F1 (l x)gT1 mg(13x )22l例 4一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向， 母线与轴线之间的夹角为 =30，如图5 所示。一长为L 的绳（质量不计） ，一端固定在圆锥体的顶点O 处，另4最新资料推荐一端拴着一个质量为m 的小物体（可看做质点） 。物体以速度 v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。图5-1（ 1）当 v1gL 时，求绳对物体的拉力；6（ 2） v23 gL ，求绳对物体的拉力。2解析当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，可能存在圆锥体对物体的弹力为零

14、的临界状况，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时， 物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此， 此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图 5-2所示，根据运动定律得：Tcos =mgTsin =mv 2L sin解得： v3gL图5-26（1）因为 v1gLv 所以物体 m 与圆锥而接触且有压力，受6力如图 5-3所示，由运动定律得T1 cos+Nsin =mgv12T 1sin Ncos =mL sin图 5-3mg (3 3解得拉力： T11)6（ 2）因为 v23 gLv ，所以物体

15、m 脱离圆锥面，设绳子2与轴线的夹角为，受力如图5-4 所示，由运动定律得：T2 sinmv22T2 cosmg图 5-4L sin解得绳子拉力：T 2=2mg注释假设法 是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。例 5如图 6 所示，半径 R=10cm 的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小物块在与容器最低点 P 相距 5mm 的 C 点由静止无摩擦滑下，则物块自静止下滑到第二次通过P 点时所经

16、历的时间是多少？若此装置放在以加速度a 向上运动的实验舱中，上述所求的时间又是多少？解析（类比法） 本题中的小物块是在重力、弹力作用下做变速5图 6最新资料推荐曲线运动，我们若抓住物体受力做5 往复运动的本质特征，便可以进行模型等效，即把小物块在凹球面上的运动等效为单摆模型.将上述装置等效为单摆，根据单摆的周期公式T2lg33R得 tTg42若此装置放在以加速度 a 向上运动的实验舱中，比较两种情形中物体受力运动的特征，可以等效为单摆的重力加速度为 g g a 的情形，经类比推理可得：33RtT42ga例 6如图 7-1 所示，半径为R，质量为 m 的圆形绳圈，以角速率绕中心轴 O 在光滑水平

17、面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析（近似法 ）取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆图 7-1心角很小时，有近似关系式sin .若取绳圈上很短的一小段绳AB=L 为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为TA 和 TB （方向见图 7-2），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以 TA 和 TB 的大小相等， 均等于 T. TA 和 TB 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ，根据牛顿第二定律有：2T sinm2 R ；2因为L 段很短，它所对应的圆心角很小所以 sin22将此近似关系和mRmm2 R2代入上式得绳中的张力为 Tm

18、2 R2图 7-2例 7粗细均匀的U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图8 所示，已知：L=10cm ，当此 U 形管以 4m/s2 的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差 .（ g=10m/s2）解析（等效法） 当 U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中， g 的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g 方向垂直 .设 g 的方向与 g 的方向之间夹角为，则 tana0.4图 8g由图 8 可知液面与水平方向的夹角为，所以， h L tan100.4 4cm0.04m.例 8 有一质量为 m=50kg 的直杆，竖立在水平

19、地面上， 杆与地面间静摩擦因数0.3 ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角30 ，如图 9-1 所示。（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点6图 9-1最新资料推荐到地面的距离 h12L / 5(L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？（ 2）若将作用点移到 h24L / 5 处时，情况又如何？解析 （极限法） 杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与 h 的关系是关键。杆的受力如图9-2 所示，由平衡条件得FT sinf0NT cosmg0F ( Lh)fL0图 9-2另由上式可知， F 增大时， f 相应也增大， 故

20、当 f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足： fN解得： FmasmgL tan(Lh) tan/h由上式又可知，当(L h) tan /h,即当 h00.66L 时对 F 就没有限制了。（ 1）当 h12 Lh0 ，将有关数据代入Fm ax 的表达式得Fmax385N5（ 2）当 h24h0 , 无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。L5例 9（第 23 届预赛题） 如图所示， 弹簧 S1 的上端固定在天花板上，下端连一小球A ，球 A 与球 B 之间用线相连。球B 与球 C 之间用弹簧S2 相连。 A 、B、C 的质量分别为m 、mB、m，弹簧与线的质量均可不计。

21、开始时它们都处在静止状态。现将A 、B 间的线AC突然剪断，求线刚剪断时A、 B、 C 的加速度解析1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S1 的弹力CS2F1(mAmB mC )g（ 1）弹簧 S2的弹力 Fm g（）2C2在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移， 弹簧的长度尚无变化，故BF、 F的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时球A 、 B 、C 的加12速度的大小分别为aA、 aB、 aC，则有Fm g m aA（ ）1AA3AF2mB g mB aB（ 4）S1F2mC g mCaC（ 5）解得 aAmBmC g 方向竖直向上； aBmB mC g 方向竖直向图 10mAmB

22、下； aC0例 10 （第 25 届预赛题） 假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。 已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s 2，地球半径 R0=6.37 106m，月球质量 mm22m6- 1122，月心地=7.3 10 kg，月球半径 R=1.7 10 m，引力恒量 G=6.67 10Nm /kg心间的距离约为rem=3.84 108m7最新资料推荐(i) 月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？(ii) 地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？(iii) 若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度

23、至少为多少（结果要求两位数字）？解析 (i) 月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为m，由万有引力定律和牛顿定律有 G memmmm rem m2(1)rem2另有 G meg(2)Re2月球绕地球一周的时间 Tm2(3)m解 (1)、 (2) 、 (3)三式得 Tm2 rem3(4)gRe2代入有关数据得Tm=2.37 106s=27.4 天(5)(ii) 满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中 A 的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到A。若以 Tm表示相继两次满月经历的时间，

24、e 表示地球绕太阳运动的 角 速 度 ， 由 于e 和m 的 方 向 相 同 ， 故 有mT =2+ Tm(6)me2(7)而 mTm2(8)eTe图 11式中 Te 为地球绕太阳运动的周期，TeTm(9)Te=365 天。由 (6) 、 (7)、 (8) 三式得 TmTmTe注意到 (5) 式，得 Tm=29.6 天(10)(iii) 从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时， 月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线，设在地月间某一点O 处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的

25、引力大小。以r 表示 O 点到月球中心的距离，则有memmmmG ( rem r )2 Gr 2(11)式中 m 是火箭的质量。由 (11)式得 ( me1)r2220(12)mmrem rrem解 (12)式，注意到(2)式，代入有关数据，得r= 3.8 107m(13)从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O 点，则过 O 点后，因月球引力大于地球引力， 它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小。设火箭刚到达月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有8最新资料推荐G me mG mmmGmemG mm m1 mv2(14)rem rr

26、remRmRm2解得 v2Gme (11) 2Gmm (11)(15)remRmrem rRmr注意到 (2)式，代入有关数据得v=2.3 103m/s例 11（第 25 届复赛） 足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。 已知球门的横梁为圆柱形， 设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70 ，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角 （小于 90o ）来表示。不

27、计空气及重力的影响。解析 足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）. 图中 B表示横梁的横截面， O1为横梁的轴线； O1O1为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O 为其球心； O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点 O的位置由直线 O OO 与水平线 O1O1 的夹212角 表示 . 设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为 v，方向用它与水平方向的夹角表示 如图 . 以碰撞点 O为原点作直角坐标系 Oxy ，y轴与 O2OO1重合 . 以 表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以表示碰后速度的方向与 y轴 (负方向

28、)的夹角， 足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角的大小 .以 Fx表示横梁作用于足球的力在 x方向的分量的大小， F y表示横梁作用于足球的力在 y方向的分量的大小， t 表示横梁与足球相互作用的时间， m表示足球的质量，有Fxtmv0xmv x(1)Fy tmvymv0y(2)式中 v0x 、 v0y 、 vx 和 v y 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy 中的分量的大小 . 根据摩擦定律有FxF y( 3)由（ 1）、（ 2）、（3）式得v 0xvx(4)vyv0y根据恢复系数的定义有vy ev0y（ 5）因 tan 0v0x（ 6）v0yvx（7）图 12tanvy

29、由（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）各式得 tan1 tan011（8）ee由图可知（ 9）若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有90o(10)9最新资料推荐在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90o . 由（ 9）式得tan 90otan(11)因足球是沿水平方向射到横梁上的， 故0，有11 tan11( 12)tanee这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置所满足的方程 . 解（ 12）式得1 12ee22 114etanee2代入有关数据得 tan1.6 ，即58o。现要求球落在球门线内，故要求58o例 12（第 26 届预赛题） 一个质量为 m1的废弃人造地球卫

30、星在离地面h=800km 高空作圆周运动，在某处和一个质量为 m2 m1/9 的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km ，其轨道和卫星轨道在同一平面内已知质量为m 的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和EG Mm ，式中 G 是引力常量， M 是地球的质量， a 为椭2a圆 轨道 的 半 长 轴 设 地 球 是 半 径 R=6371km 的 质 量均 匀 分 布 的 球 体 ， 不 计 空 气 阻力 （ i）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球

31、上（ ii ）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？解析 （ i ）如图为卫星和碎片运行轨道的示意图以v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以 M 表示地球 E 的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有Mm1v12G ( R h)2m1 R h （ 1）式中 G 是引力常量由（l）式得v1GMRGM（ 2）R hR hR以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量1

32、m2v22G Mm2G Mm2（ 3）2R h2a式中 a 为椭圆轨道的半长轴 由（ 3）式得 v22GMGM2RRGMR haR ha（ 4）R卫 星 和 碎 片 碰 撞 过 程 中 动 量 守 恒 ， 有m1v1 m2v2 =(m1+m2)v（ 5）这里 v 是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度由（ 5）式得m1v1m2v2（ 6）vm2m1由（ 2）、（ 4）、（ 6）三式并代人有关数据得10图 13-1最新资料推荐v 0.7520 GM（ 7）R结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离rmin，如果 rminR，则结合物就撞上地球为此我们先来求结合物轨道的半长轴

33、a 结合物的总能量G M (m1m2 )1 (m1m2 )v2G M ( m1m2 )（ 8）2a2Rh代人有关数据得a =5259 km（ 9）结合物轨道的近地点到地心的距离rmin=2 a （ R+h） =3347kmR（ 10）据此可以判断，结合物最后要撞上地球（ ii ）在极坐标中讨论取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图所示碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程 rp（ 11）图13-21ecos式中 e 是偏心率， p 是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离rmax =R+h （ 12）由解析几何有ermaxrmin ( 0.3635)（ 13）2a

34、在轨道的近地点，r=rmin ， =0，由（ 11）式得 =r min(1+e)(=4563 km)（14）或有p=r max (1 e)（ 15）在结合物撞击地球处；r=p或cosp RR，由（ 11）式有 R代人有1 ecoseR关数据可得cos= 0.7807则 =141.320 这是在北纬 51.320例 13（第 26 届复赛题） 图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿 1、 2、 3、4 支撑于桌角 A 、 B、 C、 D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力F，

35、令 OPc，求桌面对桌腿1图 14OA1 的压力 F 。解析设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为F1 、 F2 、 F3 、 F4 因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得F1F2F3 F4 F (1)由于对称性， F2F4 (2)考察对桌面对角线BD 的力矩，由力矩平衡条件可得F3 cFF1 (3)根据题意，0c1， c=0 对应于力 F 的作用点在 O 点， c=1 对应于F 作用点在 A 点 .设桌腿的劲度系数为k , 在力 F 的作用下，腿 1 的形变为 F1k ，腿 2和 4 的形变均为F2k ， 腿 3 的 形 变 为 F3k 依 题 意 ，

36、桌 面 上 四 个 角 在 同 一 平 面 上 ， 因 此 满 足1F1F3F2 , 即 FF32F (4)2kkk1211最新资料推荐由 (1)、 (2) 、 (3)、 (4) 式，可得F12c1(5)F ，4F12c F ，(6)34当 c10 . F30 ，表示腿3 无形变； F30 ，表示腿 3 受到桌面的作用力为时， F32拉力，这是不可能的，故应视F30 此时 (2)式 (3)式仍成立由(3)式，可得F1cF (7)2c11(8)综合以上讨论得F1F ,0 c.42F1 cF1，c 12【训练题 】练习 1 如图 15 所示，物体系由 A 、 B 、C 三个物体构成，质量分别为 mA 、mB 、mC. 用一水平力 F 作用在小车 C