全国初中数学竞赛试题含答案

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分）1如果实数a， b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2 | a b | (ca)2 | b c | 可以化简为（）（第 1 题图）（ a） 2c a（ b）2a 2b（ c） a（ d）a2如果正比例函数y = ax（a 0 ）与反比例函数y =b（ b 0 ）的图象有两个交点，x其中一个交点的坐标为（3， 2），那么另一个交点的坐标为（）（ a）（2， 3）（ b）（ 3， 2）（ c）（ 2， 3） （ d）（ 3，2）3如果 a，b 为给定的实数，且 1ab ，那

2、么 1， a1，2a b， ab1 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）（ a） 1（ b） 2a 1（c） 1（ d） 14244小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说： “你若给我 n 元，我的钱数将是你的2 倍”，其中 n 为正整数，则 n 的可能值的个数是（）（ a） 1（ b） 2（ c） 3（ d） 45一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1， 2，3，4， 5， 6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是0，1，2，3的概率为 p0， p1， p2， p3 ，则 p

3、0， p1， p2， p3 中最大的是（）（ a） p0（ b） p1（c） p2（ d） p3二、填空题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分）6按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作 .如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是.（第 7 题图）7如图，正方形 abcd的边长为215 ， e， f 分别是 ab， bc的中点， af 与 de， db分别交于点 m， n，则 dmn的面积是.8如果关于2329x12011x 的方程 x +kx+k 3k+ = 0 的两个实数根分别为x1 ， x2 ，那么的42x22012值为9 2 位八年

4、级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得 3 分，负者得 0分；平局各得 1 分 .比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.10如图，四边形abcd内接于 o， ab是直径， ad = dc. 分别延长ba，cd，交点为e.作bf ec，并与 ec的延长线交于点f.若 ae = ao， bc = 6 ，则 cf的长为.（第 10 题图）三、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11已知二次函数yx2（ m 3） x m 2 ，当 1 x3时，恒有 y 0 ；关于 x

5、 的方程 x2 （ m 3） xm20 的两个实数根的倒数和小于9求 m 的取值范围1012如图， o的直径为ab ， o 1 过点 o ，且与 o内切于点 b c 为 o上的点， oc与 o 1 交于点d ，且 odcd 点e 在 od 上，且dcde ， be的延长线与o 1 交于点 f，求证：bocdo1f（第 12 题图）13已知整数a， b 满足： ab 是素数，且ab 是完全平方数.当 a 2012 时，求 a 的最小值 .14求所有正整数 n，使得存在正整数x1， x2， l ， x2012 ，满足 x1 x2 lx2012 ，且122012x1ln .x2x2012中国教育学会

6、中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1 c解：由实数a，b， c 在数轴上的位置可知ba0c ，且bc ，所以a2 | ab |(ca) 2|bc |a( ab)(ca)(b c)a 2 d解：由题设知，2a ( 3) ， ( 3)(2)b ，所以 a2 ，b6 .3y2，3xxx解方程组得336y；y2.y，2x所以另一个交点的坐标为（3， 2） .注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2） .3 d解：由题设知， 1a1a b 1 2a b ，所以这四个数据的平均数为1(a1)(ab 1)

7、(2 ab)3 4a 2b4，4中位数为(a1) (ab1)44a2b24，于是44a2b34a2b144.44 d解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元， x，y 均为非负整数 .由题设可得x 2 n( y 2)，y n 2(x n)，消去 x 得(2y 7)n = y+4，2n =(2 y 7)1515.2 y712y 7因为15为正整数，所以2y 7的值分别为1， 3，5，15，所以 y 的值只能为4， 5，2 y76， 11从而 n 的值分别为 8，3， 2， 1； x 的值分别为14， 7， 6， 75 d解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个

8、，其和除以4 的余 数 分 别 是0 ， 1 ， 2 ， 3的 有 序 数 对 有9个 ， 8个 ， 9个 ， 10个 ， 所 以p09 ，p18 ，p29 ，p310，因此 p3 最大36363636二、填空题6 7x 19解：前四次操作的结果分别为3x 2， 3(3x 2) 2 = 9x 8， 3(9x 8) 2 = 27x 26， 3(27x 26) 2 = 81x 80.由已知得27x 26 487，81x 80487.解得 7 x 19.容易验证，当 7 x 19 时， 3x2 4879x8 487，故 x 的取值范围是7 x 197 8解：连接 df，记正方形 abcd 的边长为

9、2a .由题设易知 bfn dan ，所以adandn2 ，bfnfbn1由此得 an2 nf ，所以 an2af .3在 rt abf中，因为 ab2a， bf a ，所以afab 2bf 25a ，于是cosbafab2 5af.5由题设可知 ade baf，所以aed afb ，（第 7 题）ame1800bafaed1800bafafb90o .于是又 s afd因为 aamae cos25a ，baf5mnanam245afama ，315s mndmn4s afdaf.151 (2a) (2 a) 2a2 ，所以 s mnd4 s afd8 a2 .2151515 ，所以 s mn

10、d8 .823解：根据题意，关于x 的方程有=k2 4 ( 3 k 23k9 ) 0，42由此得(k 3) 2 0又 (k 3) 2 0，所以 (k 3) 2=0，从而 k=3.此时方程为 x2+3x+ 9 =0，解得 x1=x 2=3.42故 x12011 =1=2x22012x239 8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知2a3b130 ，由此得 0b 43.又 ab(m1)(m2)2b(m1)(m2) . 于是2，所以 2a0 b 130 (m1)(m2) 43，87 (m1)(m2) 130，由此得 m8 ，或 m9 .当 m8 时， b40， a5 ；当 m9 时， b2

11、0，a35 ，ab55a，不合题设 .2 2故 m 8 （第 10 题）10 322解：如 ， 接ac， bd， od.由 ab是 o的直径知 bca = bda = 90 .依 bfc = 90 ，四 形abcd是 o的内接四 形，所以 bcf = bad,所以 rt bcf rt bad ，因此bcba.cfad因 od是 o的半径， ad = cd，所以 od垂直平分 ac， od bc，于是 deoe2 . 因此dcobde 2cd 2ad，ce 3ad .由 aed ceb ，知 de ecae be 因 aeba ，be3 ba ，ba3 ba ， ba=222所以 2ad 3ad

12、2 ad ，故22cfadbcbc3 2.ba2 22三、解答 11解： 因 当 1x3 ，恒有 y0，所以2（ m 3） （4 m 2） 0，即20 ，所以 m1（ 5 分）（ m1）当 x1 ， y 0 ；当 x3 ， y 0 ，即( 1)2(m 3)( 1) m 2 0 ，且323(m 3)m2 0 ，解得 m 5 （ 10 分） 方程 x2m3 xm20 的两个 数根分 x1，x2 ，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2m 3 ， x1x2m 2 因 119，所以x1x210x1 x2m39 ，x1x2m210解得 m12，或 m2 因此 m12 （ 20 分）12 明： 接 bd，

13、因 ob 为 e o1 的直径，所以odb 90又因 dcde ，所以 cbe是等腰三角形（ 5 分）设bc与1m， 连 接omomb90 又 因 为e o 交 于 点， 则（第 12 题）oc ob ，所以boc2dom2dbc2dbfdo1f （ 15 分）又因 boc， do1f 分 是等腰boc ，等腰 do1f 的 角，所以 boc do1f （ 20 分）13解： a b = m （ m是素数）， ab = n2（ n 是正整数） .因 (a+b)24ab = (a b)2，所以(2a m)2 4n2 = m2，(2a m+2n)(2a m 2n) = m 2.（ 5 分）因 2a

14、 m+2n与 2a m2n 都是正整数，且2a m+2n 2am 2n (m 素数 ) ，所以2a m+2n m2 ， 2a m 2n1.解得a(m 1) 2， nm21 .44（ m2于是1）.（ 10 分）b = a m4(m1)2又 a2012，即 2012.4又因 m是素数，解得m89. 此 ， a (89 1) 2=2025.4当 a 2025 ， m 89， b1936， n 1980.因此， a 的最小 2025.（ 20分）14解：由于 x1， x2， l ， x2012 都是正整数，且x1x2 l x2012，所以x1 1， x2 2， x2012 2012于是n12l201212l20122012 （ 10 分）x1x2x2012122012当 n1 ，令 x1