方程的根与函数的零点

1、数学是有用的，学数学能提高能力，数学是自然的，数学是清楚的，学数学要摸索自己的学习方法，学数学趁年轻。,方程的根与函数的零点,人教社 普通高中课程标准实验教科书 数学1 第三章 函数的应用 3.1函数与方程 第一课时,教材特点： 教材地位和作用：,大学课程数学分析中的介值定理下放到中学课程。,在中学教材结构中，起着承上启下的作用。,本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。学习函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载着建立函数与方程数学思想的任务。,本节课的主要教学内容是函数零点的概念和函数零点存

2、在的判定依据，这又为下一节“用二分法求方程近似解”以及后续的学习提供了基础。,(1)基本初等函数的图象和性质； (2)初步了解一元二次方程的根和相应二次函数图像与x 轴的关系； (3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。,学生具备的,学生欠缺的,(1)应用函数解决问题的意识还不强； (2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够； (3) 数形结合及转化的思想意识需进一步培养,学情分析,知识与技能目标 过程与方法目标 情感与价值观目标,了解函数零点的概念,了解函数零点与方程根的联系,掌握零点存在的判定方法,提高由特殊到一般的归纳思维能力,经历“探究归纳应用”的过程,感悟由具体到抽象的研究方法,

3、体验自主探究，合作交流的乐趣,培养学生严谨的科学态度,激发学生的学习兴趣,学情分析,了解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。,引导探究函数零点的概念及零点存在性原理，确定函数零点的个数。,问题情境建立模型解释应用和拓展,讨论探究实践体验归纳总结发展问题,学情分析,建构主义理论： 知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。,教法: 提出问题引导探究得出结论实际应用,元认知理论: 学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。,学法: 自主探究、合作交流、归纳法、发现法等,课堂教学导图,创设情景，揭

4、示课题,合作交流，形成概念,初步运用，示例练习,讨论探究，揭示原理,巩固深化，发展思维,归纳总结，整体认识,课后反馈，作业布置,方程 有实根吗？ 你能用多少种方法解决这个问题？,预案一：解方程（求根公式或因式分解）；,预案三：设 ，画出函数图象.,预案二：计算判别式 的值；,问题1：,知识探究（一）：函数零点的概念,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,(1)y=

5、x2-2x-3与x2-2x-3=0,(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0,(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0,问题2：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？,结论:,二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。,问题3：上述结论对其他函数成立吗？,看下列函数的图象：,议一议,3.1.1方程的根与函数的零点,1、函数零点的概念：,练一练,问题4：以下三个结论有相关性吗？,想一想,用一用,练习1：求下列函数的零点：,1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头，但我们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两

6、组镜头（下图），哪一组说明他的行程一定曾渡过河？,知识探究二：零点存在性原理,讨论探究，揭示原理,问题5:在什么情况下，函数 在区间（a，b） 一定存在零点？,2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？,3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学 符号（式子）来表示？,用f（a）f（b）0来表示,A,B,0,零点的存在性原理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c (a,b)，使得f(c)=0，这

7、个c也就是方程f(x)=0 的根.,问题7：观察另三个函数图象你有什么发现？,原理不可逆,单调仅有一个零点,零点的个数不唯一,图象连续是必要的,问题6：已知函数y=f (x)在区间a,b 满足f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点吗？如果不存在，你能举出一个反例吗？,分析二：该函数有几个零点？,分析一：能否确定零点区间；,用一用,由列表和图像可知f(2)0， 即f(2)f(3)0,说明这个函数 在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+) 内是增函数,因而仅有一个零点。,解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象,解法三：通过数形结合，把

8、讨论原函数的零点个数问题转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：,令f（x）=0, 得方程 方程变形，lnx=-2x+6 , 拆成两个函数g（x）=lnx, h（x）=6-2x 画两函数图象 根据两函数图象交点个数 即为原函数的零点个数,得结果.,y=2x +6,y= lnx,解法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：,看你的,练习2.已知函数 的图象是连续不断的，有如下 ， 对应表,看你的,变式训练：判断函数 的零点个数？,函数零点的概念,函数零点存在性定理,数形结合思想,函数与方程的思想,化归与转化的思想,课本P92 习题3.1 A组 2,必做题：,两个探究,2. 三种思想,学生从中深刻地领会到本节课知识形成过程中所蕴含的三种数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，同时通过精讲例题及发散变式训练的教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；,