第四章 根轨迹分析法3.ppt

1、自动控制原理,授课对象：08电子通信,授课教师：林君,2,第四章 根轨迹分析法,3,4.3 用根轨迹法分析系统性能,根轨迹：是指系统的一个或多个参数（一般为根轨迹增益Kr）由0变化到时，闭环特征根在S平面上的运动轨迹。 Kr 变化，闭环特征根也随之变化，系统性能也跟着发生变化。通过根轨迹分析系统的性能具有直观方便的特点。,4,本节内容如下： 一、闭环极点位置与系统性能的关系； 二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点； 三、已知性能指标确定闭环极点和Kr； 四、增加开环零极点对系统性能的影响；,4.3 用根轨迹法分析系统性能,5,4.3 用根轨迹法分析系统性能,一、闭环极点位置与系统性能 的关系,n

2、阶系统单位阶跃响应的一般表达式为,zi 闭环传递函数的零点,si闭环传递函数的极点,待定系数:,系统的输出响应：,由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。,负实数极点离虚轴越远,对应的分量,eSjt 衰减越快系统的调节时间就越短,响应越快.,6,4.3 用根轨迹法分析系统性能,一对共轭复数极点在S平面上的分布:,=n,=cos-1,复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系为,7,4.3 用根轨迹法分析系统性能,复数极点的位置与性能的关系：,（1）闭环复数极点的实部n反映了 系统的调整时间；,（2）闭环极点的虚部d表征了系统输 出响应的振荡频率；,（3）闭环极点与坐标原点的距离n表

3、征了系统的无阻尼自然振荡频率；,（4）闭环极点与负实轴的夹角反映 了系统的超调量；,（5）闭环极点在S 左、右平面的分布 反映了系统的稳定性。,当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。,8,4.3 用根轨迹法分析系统性能,例 已知系统的开环传递函数:,试估算系统的性能指标。,解 ：,闭环有三个极点,S1=-1,s1为主导极点,s2.3离虚轴的距离是s1的四倍，因而可以忽略不计。,则,ts=3T=3(s),闭环传递函数简化为 一阶系统,9,4.3 用根轨迹法分析系统性能,二、已知根轨迹增益Kr确定 闭环极点,根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益Kr取

4、某值时的闭环极点，进而确定闭环传递函数.已知Kr一般采用试探的方法确定闭环极点.,10,4.3 用根轨迹法分析系统性能,例 已知系统的开环传递函数:,试确定Kr=1时的闭环极点。,系统的根轨迹图如图:,解：,取：,S3=-2.32,S3=-2.33,Kr=|s3|s3+1|s3+2|,Kr=2.32x1.32x0.32=0.98,Kr=1.023,S3=-2.325,Kr=1.001,即,Kr=1,S3=-2.325,=S2+0.675S+0.431=0,根据长除法有,可求得另两个极点,S2,3=-0.338j0.56,闭环传递函数为:,11,4.3 用根轨迹法分析系统性能,三、已知性能指标确

5、定闭环 极点和Kr,采用根轨迹法分析系统性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求确定闭环极点的位置和对应的Kr值,使得系统的性能满足要求.,12,4.3 用根轨迹法分析系统性能,要求,=0.5,试确定闭环极点和对应的Kr.,例 已知系统的开环传递函数:,系统的根轨迹图如图:,解：,在根轨迹图上作射线:,=cos-1=60,=60,与根轨迹相交点为s1和s2,S1,2=-0.33j0.58,即,=-3+0.33x2=-2.34,=2.34x1.34x0.34=1.066,Kg=|s3|s3+1|s3+2|,系统的闭环传递函数为,13,4.3 用根轨迹法分析系统性能,四、增加开环零极点对系统性能

6、的影响,由以上分析知，闭环特征根应该位于S左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。,14,4.3 用根轨迹法分析系统性能,（1）设二阶系统的开环传递函数为,1. 增加开环零点,系统的根轨迹图如图:,不管怎么选择Kr 闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性.,增加零点后:,系统的根轨迹图为:,零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离.,又可使角较小，以降低超调量。,增加合适的零点,可以减小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和选快速性。,15,4.3 用根轨迹法分析系统性

7、能,如果零点选择不合适，效果就完全不一样。设,系统的根轨迹图如图:,不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在00.5之间，系统的调节时间不可能缩短。,16,4.3 用根轨迹法分析系统性能,（2）设三阶系统的开环传递函数为,系统的根轨迹图如图:,增加零点后:,系统的根轨迹图:,加了零点后根轨迹的渐近线位于S左半平面， 系统由不稳定变成稳定。,如果增加零点后:,系统的根轨迹图:,根轨迹的渐近线位于S右半平面，系统仍然不稳定.,17,4.3 用根轨迹法分析系统性能,要求,=0.5,例 已知系统的开环传递函数:,试确定开环零点的位置。,ts3s,(1)系统根轨迹图:,解：,

8、18,4.3 用根轨迹法分析系统性能,S1,2=-0.4j0.7,不满足要求,加入开环零点来改善系统的性能,(2) 验证系统是否满足性能指标的要求,作射线,=cos-1=60,19,4.3 用根轨迹法分析系统性能,（3）确定开环零点的位置,1）选择零点z=-2,系统的根轨迹图:,由 A(s)B(s)=A(s)B(s),解得分离点：s1=-0.55 Kr =0.59,实轴上根轨迹段,p1p2,p3 z1,20,4.3 用根轨迹法分析系统性能,Kr=6,S1,2=-1j1.732,满足要求,渐近线与实轴的交点:,渐近线与实轴的夹角 :,作射线,=cos-1=60,21,4.3 用根轨迹法分析系统性能,2）选择零点z=-0.5,系统的根轨迹图:,由于闭环主导极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般不希望系统出现这种情况.,22,4.3 用根轨迹法分析系统性能,3）选择零点z=-7,系统的根轨迹图:,系统的性能没有大的改善,23,4.3 用根轨迹法分析系统性能,2增加开环极点,设二阶系统的开环传递函数为,系统的根轨迹图:,24,4.3 用根轨迹法分析系统性能,1）选择极点p=-6,系统的根轨迹图:,25,4.3 用根轨迹法分析系统性能,2）选择极点p