2015秋季 初三自招进度三05 垂径定理学生

1、 第五讲垂径定理一、圆的基本概念 1. 圆的概念：在平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，则另一端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆（circle）固定的端点O 叫做圆心（centerofacircle），线段OP （ = r ）叫做半径（radius）以点O 为圆心的圆，记作“ eO 读作“圆O ” （1）圆上各点到定点”，（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）【推广】（2）到定点O 的距离等于定长r 的所有点都在一个圆上 2. 弧：圆上任意两点间的部分称为圆弧（arc），简称弧用符号“”AB表示如右图所示，以 A 、 B 为端点的弧记作 eAB ，读作“弧 AB ”圆的任意一条

2、直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 DCOeACB大于半圆的弧（一般用三个字母表示，如图中的）叫做优弧小于半圆的弧（如图中的 eAB 、 eAC 或 BeD ）叫做劣弧 由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形，如右图中弦 AB 分别与 eAB 及 eACB 组成的两个不同的弓形 3. 弦：联结圆上任意两点间的线段，如图中的 AB 、CD ，叫做弦（chord），经过圆心的 1 弦叫做直径（diameter）直径是圆内最长的弦4.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角（centralangle）如图AOB5.弦心距 ：弦到圆心的距离6.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，称多

3、边形为该圆的内接 多边形；圆为该多边形的外接圆特别的，如果四边形内接于一个圆，称四边形为该圆的 内接四边形二、圆的确定圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆三、点与圆的位置关系点与圆的位置关系： 点 P 在eO 上 OP = r 1.点 P 在eO 内 OP r 3.四、同圆或等圆CBA定理 1：同（等）圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等【思考】同（等）圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，如果某一组相等，是否能得到其余各组量都相等？D五、垂径定理定理 2（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧【思考】如果“直径平分弦”，那么“直径垂直于弦，且直径平分弦

4、所对的弧”能否成立？ 【推论】一条直线：过圆心；垂直于一条弦；平分这条弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外） 【思考】如果直径平分弦，那么“直径垂直于弦，且直径平分弦所对的弧”能否成立？2 O 【定理 1】【例1】 如图，在eO 中，eAB = CeD ，AD 、BC 相交于点 E 求证：（1）ABDCDB； （2） OE 平分AEC BDACO【例2】如图， eO 是ABC 的外接圆， AE 平分ABC 的外角DAC ， OM AB ， ON AC ，垂足分别是点M、N ，且OM = ON 求证：（1）AEBC；（2） AO AE

5、DA ENMOBC3E 【例3】如图，已知 AB、CD 是eO 的弦，且 AB = CD ， OM AB ， ON CD ，垂足 分别是点M 、 N ， BA 、 DC 的延长线交于点 P 求证： PA = PC BMAPOCND【例4】如图， eO 中， AB 为直径， CO AB ， D 是CO 的中点，DEAB，求证： EeC = 2eEA CABO4E D 【垂径定理】【例5】已知eO 的半径长为 5，弦 AB 与弦CD 平行， AB = 6 ， CD = 8 ，则 AB 与CD之间的距离为 【例6】已知eO 直径为 10，弦 AB = 6 ，P 为 AB 上一动点，则 OP 的取值范

6、围是 【例7】如图所示，已知以点O 为圆心的两同心圆，大圆弦 AB 交小圆于C 、 D 两点（1）求证： AC = BD ；（2）若 AB = 8 ， CD = 4 ，求圆环的面积BACD5 如图所示，点 P 为eO 弦 AB 的中点， PC OA ，垂足为C 【例8】 求证： PA PB = AC OA BPAOC【例9】ABC 中， AB = AC = 10 ， BC = 12 ，求其外接圆半径【例10】 如图， eO 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE = 6 cm， EB = 2 cm， CEA = 30 ，求CD 的长6 【例11】如图， ABCD 是直角梯形，以斜

7、腰 AB 为直径作圆，交CD 于 E 、F ，交 BC 于G ，求证：（1） DE = CF ；（2） eAE = eGF 【例12】AB 是eO 的直径，弦CD 与 AB 相交，过 A 、B 向CD 引垂线，垂足分别为 E 、 F ，求证： CE = DF 【例13】 eO 的弦 AB 、CD 互相垂直于 E ，且 AE = 5 ，BE = 13，O到 AB 的距离为210 ，求 CD 到圆心 O 的距离，O 到 E 的距离，及圆的半径DGOABEFC7 【例14】 已知 AB 为eO 的弦，从圆上任一点引弦CD AB ，作OCD 的平分线交eO于 P 点，联结 PA 、 PB ，求证： P

8、A = PB COABDP【例15】 已知 AB 是eO 的直径， M 、N 分别是OA 、OB 的中点，CM 垂直于 AB ，求 证： eAC = eBD DCBAMON8 【作业1】 求证：菱形四条边中点在对角线的交点为圆心的同一个圆上 【作业2】 已知梯形 ABCD 内接于eO ，ABCD， eO 的半径为4 ， AB = 6 ，CD = 2 ，求 梯形 ABCD 的面积【作业3】 如图，eO 是等腰ABC 的外接圆，AB = AC ，D 是弧 AC 的中点，E 是 BA 延 长线上的点，EBCD，已知EAC = 144 ，求DAC 的度数，并证明四边形 ABCD 是等腰梯形 EADOBC9 【作业4】 如图，在eO 的弦 AB 上取 AC = BD ，过C 、D 分别作 AB 的垂线CE 、DF 交 eO 于 E 、 F ，并且 E 、 F 在