结构力学课件9位移计算1虚功原理与结构位移计算

1、2020/10/15,1,虚功原理与结构位移计算,第 九 章,2020/10/15,2,9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移,一、结构位移计算概述,产生位移的原因：（1）荷载,（2）温度变化、材料胀缩,（3）支座沉降、制造误差,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便,2020/10/15,3,二、虚功原理,1、实功与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增

2、大到11，对线弹性体系P与成正比。,元功：,再加P2，,P2在自身引起的位移22上作的功为：,在12过程中，P1的值不变，,12与P1无关,Kj,位移发生的位置,产生位移的原因,2020/10/15,4,2、计算结构位移的目的 a、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。 b、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。 c、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。,(b),(a),2020/10/15,5,3、位移计算中的基本假定 位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也

3、随之消失。并应满足如下基本假定： 、应力和应变服从虎克定律（物理线性）； 、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移； 、所有约束为理想约束，即约束力不作功。,2020/10/15,6,4、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量,P,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。,3）若广义力是等值、反向的一对力P,这里是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距

4、的改变，即AB两点的相对位移。,4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两截面的相对转角。,2020/10/15,7,三、虚功原理应用,1、求静定结构的未知约束力 例题9.1评讲 单位位移法步骤： ）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移； 2）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。 3）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。,2020/10/15,8,2、虚力原理,虚功方程,设虚力状态,小结：,（1）形式是虚功方程，实质是

5、几何方程；,（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；,（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。,单位荷载其虚功正好等于拟求位移。,虚设力系求刚体体系位移,2020/10/15,9,3、支座位移时静定结构的位移计算,（1）C点的竖向位移,（2）杆CD的转角,所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。,求解步骤,（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；,（3）解方程得,定出方向。,（2）建立虚功方程,2020/10/15,10,虚功方程：,B,A,A,例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在ii方向的位移 。,例2、悬

6、臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在ii方向的位移 。,2020/10/15,11,例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在方向的位移 。,由平衡条件：,虚功方程：,当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：,2020/10/15,12,9-2 结构位移计算的一般公式,变形体的位移计算,推导位移计算公式的两种途径,由变形体虚功原理来推导；,由刚体虚功原理来推导局部到整体。,一、局部变形时的位移计算公式,基本思路：,（1）三种变形：,在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。,2020/10/15,13,（

7、2）微段两端相对位移：,续基本思路：设,微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。,（3）应用刚体虚功原理求位移d即前例的结论。,或,2020/10/15,14,二、结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,2020/10/15,15,适用范围与特点：,2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。,（2）变形原因：荷载与非荷载。,（3）结构类型：各种杆件结构。,（

8、4）材料种类：各种变形固体材料。,1） 适于小变形，可用叠加原理。,2020/10/15,16,位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。,K,外虚功：,内虚功：,变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：,2020/10/15,17,三、位移计算的一般步骤:,实际变形状态,虚力状态,(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；,(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。,2020/10/15,18,9-3 荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料。,重点在于解决荷载作用下应变 的表达

9、式。,一、计算步骤,（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。,（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知,k-为截面形状系数,(3) 荷载作用下的位移计算公式,2020/10/15,19,二、各类结构的位移计算公式,（1）梁与刚架,（2）桁架,（3）拱,2020/10/15,20,(a) 实际状态,(b) 虚设状态,AC段,CB段,1）列出两种状态的内力方程：,2020/10/15,21,2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算,CB段,2020/10/15,22,CB段,设为矩形截面 k=1.2,2020/10/15,23,3）讨论,比较剪切变形与弯

10、曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比 , 由材料力学公式 。,2020/10/15,24,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例2 计算屋架顶点的竖向位移。,2020/10/15,25,AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,2020/10/15,26,例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起

11、的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,2020/10/15,27,例4：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载,积分常可用图形相乘来代替,2）MP 须分段写,2020/10/15,28,9-5 图乘法 位移计算举例,Mi=xtg,注：,y0=x0tg,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积A与竖标y0在杆的同侧， Ay0 取正号，否则取负号。,2020/10/15,29,几种常见图形的面积和形心的位置：,A=hl/2,

12、二次抛物线A=2hl/3,二次抛物线A=hl/3,二次抛物线A=2hl/3,三次抛物线A=hl/4,n次抛物线A=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,2020/10/15,30,ql2/2,例：求梁B点转角位移。,例：求梁B点竖向线位移。,2020/10/15,31,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,2020/10/15,32,非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。,=111,2020/10/15,33,=15,= 33,2020/10/15,34,b)非标准抛物线乘直

13、线形,E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2,例： 预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。,解：q=2500010.025625 N/ m,2020/10/15,35,折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,2,2020/10/15,36,P=1,l,y3,2020/10/15,37,求AB两点的相对水平位移。,6,3,

14、),2020/10/15,38,求B,求B点竖向位移。,2020/10/15,39,m,求A点水平位移。,2020/10/15,40,求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,2020/10/15,41,求DV,5P,8P,1,3P,2020/10/15,42,2020/10/15,43,例：试求等截面简支梁C截面的转角。,1,=,2020/10/15,44,2-1,、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。,（,）,AB杆的转角,AB连线的转角,AB杆和AC杆的 相对转角,2020/10/15,45,9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算,1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和

15、位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,3）微段的变形,= at/h =0,该公式仅适用于静定结构,e=at0,2020/10/15,46,例9-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,2020/10/15,47,9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入,得到：,仅用于静定结构,2020/10/15,48,应用条件：1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,一、功的互等定理,功的互等定理：在任一线性变形体

16、系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21,9-7 互等定理,2020/10/15,49,二、位移互等定理,位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。,称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,202

17、0/10/15,50,三、反力互等定理,称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12 。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 。,注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用于超静定结构。,2020/10/15,51,例：已知图结构的弯矩图 求同一结构由于支座A的转动 引起C点的挠度。 解：W12=W21 T21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16,例：图示同一结构的两种状态， 求=？,=A+