高二数学教案：8.2椭圆的简单几何性质(一)

1、课题： 8 2 椭圆的简单几何性质（一）教学目的：1熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2掌握标准方程中a, b, c 的几何意义，以及a, b, c,e 的相互关系3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法教学重点： 椭圆的几何性质教学难点： 如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一， 根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的怎样用代数的方法

2、来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力； 通过几何性质的简单的应用， 了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及

3、椭圆的第二定义的理解， 关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系， 理解关掌握两种椭圆的定义的等价性根据教学大纲的安排， 本节内容分4 个课时进行教学， 本节内容的课时分配作如下设计：第一课时， 椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时， 椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时， 焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时， 椭圆的参数方程及应用教学过程 ：一、复习引入：1椭圆定义 ：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程： x 2y 21， y 2x21 （ ab 0 ）a 2b 2a 2b23问题：（ 1）椭圆曲线的几何意义是什

4、么？（ 2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的 x, y 取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（ 3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？第 1页共 5页（ 4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？ a,b, c 的几何意义各是什么？（ 5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（ 6）画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：yx 2y 2由椭圆方程1( ab0 ) 研PB2Pa2b2究椭圆的性质 .(利用方程研究 ,说明结论与A1FA2由图形观察一

5、致 )OF2x(1)范围 :1从标准方程得出x21 ,y 21 ,即有QB1 Pa2b2a x a ,byb ，可知椭圆落在 xa, yb 组成的矩形中(2)对称性 :把方程中的 x 换成x 方程不变，图象关于y 轴对称 y 换成y 方程不变，图象关于 x 轴对称把 x, y 同时换成x, y 方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于x 轴对称， 关于 y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的 对称中心 ，简称中心 x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴 从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（ 3）顶点： 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆 x2y21

6、 的方程里，令y 0 得 xa ，因此椭圆和x 轴有两个交点a2b2A (a,0), A2 ( a,0)x 2y 21的顶点，它们是椭圆b2a 2令 x0，得 yb，因此椭圆和y 轴有两个交 B (0,b), B2 (0,b) ，它们也是椭圆 x 2y21的顶点因此椭圆共有四个顶点：A(a,0),A2(,0)a 2b2a，B (0, b), B2 (0, b)加两焦点 F1 ( c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.A1 A2 叫椭圆的 长轴， B1 B2 叫椭圆的 短轴 长分别为 2a,2ba, b 分别为椭圆的 长半轴长 和短半轴长 .椭圆的 顶点 即为椭圆与对称轴的交点.第 2页

7、共 5页至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围 , 对称性 , 顶点因而只需少量描点就可以较正确的作图了(4)离心率 :发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念 ：椭圆焦距与长轴长之比ce1b)2定义式 ： e(aa范围： 0e1考察椭圆形状与e 的关系：ye0, c0 ，椭圆变圆， 直至成为极限位置B2e0 时的特例圆，此时也可认为圆为椭圆在e1, ca, 椭圆变扁，直至成为极限位置线AOA2x1段 F1 F2 ，此时也可认为圆为椭圆在e 1时的特例B1三、讲解范例：例 1 求椭圆 16 x225 y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描

8、点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程x 2y 252421所以， a5,b4, c52423 ，因此，椭圆的 长轴的长 和短轴的 长分别为 2a10,2b8 ，离心率 ec3a，5两个焦点分别为F1 (3,0), F2 (3,0) ，椭圆的四个顶点是A (5,0), A2 (5,0) ，B (0, 4), B2 (0,4)将已知方程变形为y425 x2，根据 y425x 2，在 0 x5 的范围55内算出几个点的坐标(x, y) ：x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：第 3页共 5页y4-5O5x-4例 2 在同一坐标系中画

9、出下列椭圆的简图：（1） x 2y21（ 2） x2y212516259答：简图如下：y43-5O5x-3-4例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（ 1） x2y21（ 2） x2y21944936答：简图如下：yy62-3O3x-7O7x-2-6四、课堂练习 ：1已知椭圆的一个焦点将长轴分为3 :2 两段，求其离心率解：由题意， (ac) : (ac) =3 :2, 即 1e3 , 解得 e 5 2 61e2x 2y22如图，求椭圆2ba21,( ab0 ) 内接正方形ABCD的面积解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形 BFOE的面积是所求正方形面积的 1/4,且 B 点横纵坐标相等，y故设 B（ t, t ), 代入椭圆方程求得t2a2 b22 , 即正AEB2a2bBFAOA