第四章 根轨迹法4-2.ppt

1、1,根轨迹法 (4-2),2,6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点,分离点或会合点：,3,设系统的开环传递函数,系统特征方程,4,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 和 。因此求得： 消 去，可得到： 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。,5,例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K10，故 舍去； s2代入，求得K10 。所以s2会合点。,

2、(舍去),6,另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到,7,仍以上例说明: 因为 令 求得,(舍去),8,(2) 因为 即 其中 即 所以,-,9,仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面 两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定 要检验，舍去K0所对应的值。,（舍去）,10,复杂情况用试探法。 在-2-3之间存在一个分离点。 所以分离点的位置为,11,7、根轨迹的出射角与入射角,出射角(或入射角)是指根轨迹离开复数极点 (或终止复零点)处切线的倾角。,12,出射角:,13,若根轨

3、迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点到 的向量幅角 之和） （其它各极点到 的向量幅角 之和） 若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) (其它各零点到 的向量幅角 之和),14,8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。 介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的

4、辅助方程求得。,例 已知闭环特征方程式为,由劳斯判据：,自动控制理论,17,9. 根之和与根之积,闭环极点之和等于开环极点之和,18,绘制根轨迹图的规则,19,绘制根轨迹图的规则,20,例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。 解：起点：0，-4，-6 终点：3个无限零点 （1）渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去）,21,（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去),22,23,例4-4 已知,试画系统的根轨迹。,1）有4条根轨迹分支,它们的起点分别为0，-4，-2j4 2） 渐近线

5、与正实轴的夹角,解：,3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 4） 分离点，系统的特征方程为,例4-4的根轨迹,5）与虚轴交点,由劳斯判据：,27,( (4)出射角 极点-p3的出射角 ： 同理不难求得极点-p4处的出射角：,28,例2 系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：4个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。 渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：0 -3,29,(3)分离点： 利用试探法求得 (4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 、 、 .

6、 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,30,(3)分离点： 利用试探法求得 (4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 、 、 . 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,31,实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令s1行首项为零，即 求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程,(舍去),32,33,P118,例3 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为,试证明该系统根轨

7、迹的复数部分为一圆，分析K对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。,证明：,根据相角条件：,令：,34,即：,等式两端取正切：,35,无论 K 0 取何值，系统的闭环极点均位于s平面的做左侧，系统稳定。,36,例4-7 一双闭环控制系统的框图如图4-18所示，试绘之以为参变量的根轨迹。,第三节 参量根轨迹的绘制,例4-7 试绘制图4-18所示的系统以为参变量的根轨迹,解：,例4-7的根轨迹图,一个可变量根轨迹的绘制,几个可变参量根轨迹的绘制,例4-8 试绘制图4-20所示,试绘制以K和为参变量的根轨迹,图4-21 根轨迹图,图4-20 单位反馈控制系统,解： 特征方程式,2020

8、/10/13,第四章 根轨迹法,39,第四节 非最小相位系统的根轨迹,开环传递函数的零点、极点均位于S左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统。 出现非最小相位系统有如下三种情况,1） 系统中有局部正反馈回路 2） 系统中含有非最小相位元件 3） 系统中含有纯滞后环节,图4-22具有正反馈回路的控制系统,正反馈回路的根轨迹,内回路的闭环传递函数为,相应的特征方程为,由上式得,正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同这处有：,1）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点数与极点数这和为偶数 2）渐近线与实轴的倾角,3）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角

9、分别为,系统中含有非最小相位元件,图4-23 非最小相位系统,由相角条件得,42,4.3 控制系统性能的复域分析 根轨迹法,43,例1: 设一单位负反馈控制系统的开环传递函数 试画根轨迹。 解：起点：0，-4，-6 终点：3个无限零点 （1）渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去）,44,（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去),46,根轨迹分析： 1稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部

10、的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。 2稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳 定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。,47,3动态性能分析： 当0K117时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。 当17K1240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。,48,1. 求K1=15时系统

11、闭环极点；,解：利用幅值条件，用试探法,当s=-1.5, K1=16.875,当s=-1.4, K1=16.744,当s=-1, K1=15,49,2. 求系统阻尼比 时闭环极点；,设,50,51,52,试选择K1，以使系统同时满足下列性能指标：,3. 当单位斜坡输入时，系统的稳态误差ess1.0; 4. 系统阻尼比0.707； 5. 调整时间3s;,解：,53,根据相角条件,54,55,56,小结,根轨迹概念 幅值相角条件 绘制根轨迹原则 利用根轨迹分析控制系统,2020/10/13,第四章 根轨迹法,57,第六节 用根轨迹法分析控制系统,用根轨迹法确定系统中的有关参数,图4-35 控制系统

12、,试用选择参数K1和K2以使系统满足下列性能指标,自动控制理论,2020/10/13,第四章 根轨迹法,58,在S左半平面上,过坐标原点作一与负实轴成45角的射线,如图4-36所示,图4-36 在S平面上希望极点的区域,自动控制理论,2020/10/13,第四章 根轨迹法,59,图4-37为对应的根轨迹。,以为参变量的根轨迹如图4-38所示,该图与由过坐标原点作一与负实轴成45角的直线；并与根轨迹相交于-3.15j3.17。由根轨迹幅值条件求得=4.3=20K2 ； K2=0.215,因为所术闭环极点实部=3.15;因而,图4-37 式（4-63）的根轨迹,图4-38 式（4-64）的根轨迹,自动控制理论,2020/10/13,第四章 根轨迹法,60,确定指定K0时的闭环传递函数,例 已知,求K0=0.5时的闭环传递函数。,解 在分离点S=-0.42