有限元基础(第2章).ppt

1、有限元基础及ANSYS软件,郭世伟,第一章 有限元法基础,由简单构件到复杂结构逐渐说明有限单元法的基本原理和分析方法。 单坐标弹簧系平面弹簧系结构 桁架结构梁系、刚架结构分析 平面问题、板壳问题、实体问题等连续弹性体问题,一、单坐标方向弹簧系统的矩阵分析方法 单个弹簧的受力与位移关系,单元节点力与节点位移关系形式为：,经受力、变形分析得 节点力与节点位移关系为：,有单元刚度矩阵为：,两个弹簧的受力系统：,整体刚度矩阵,刚度矩阵性质的说明！,引入约束条件，并把所受外力代入整体刚度矩阵，求解线性代数方程组，可求得未知的节点位移值量和节点力。 以上弹簧系统中的弹簧可等效为水平二力杆件，即水平桁架单元

2、，只是其刚度系数为：,单元刚度矩阵组集为整体刚度矩阵的方法。各单刚阵先扩展为总刚阵的大小，再叠加；或先把总刚阵元素全充零，再把各单刚阵的元素叠加到总刚阵的对应位置上。 各节点力的叠加。节点位移的处理。,单元轴力的计算： S为单元应力矩阵 分析方法的总结 进一步思考，对上述的弹簧连接系统增加连接弹簧数，增加节点数等复杂化处理，用同样的矩阵分析方法做！,节点1，5固结，各节点力和刚度系数已知，求未知量！,进一步思考，弹簧在平面内倾斜放置时的情形，为平面弹簧系统的分析求解。引申为平面桁架结构问题。,名词：单元、节点、节点自由度、结点载荷、节点位移、刚度矩阵、局部坐标系与整体坐标系等。,二、杆件结构的

3、矩阵分析方法 1、结构的离散化把杆件结构划分为有限个简单单元，各单元只在有限个结点处相连。 2、单元分析 分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程。 3、整体分析 考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程。结合已知结点位移和已知结点荷载求解原结构的未知结点位移和未知结点内力。 以上“杆件”的说明,三、结构力学基本概念的介绍,材料性质的简化：一般均假设为连续、均匀、各向同性、完全弹性或弹塑性。 结构：有杆、梁结构，（平面、空间）桁架，（平面、空间）刚架，弹性平面结构，板壳结构，实体结构等。 （一）结构的简化,1、支座的简化,(1) 活动铰支座（

4、滚轴支座、辊轴支座）,FA,结构的约束，自由度,(2) 固定铰支座（不动铰支座）,(3) 固定支座,(4) 定向支座（滑动支座，双链杆支座）,2、结点的简化 (1) 刚结点：其变形特征和受力特点是，汇交于结点的各杆端之间不能发生相对转动；刚结点处不但能承受和传递力，而且能承受和传递力偶。,(2) 铰结点：其变形特征和受力特点是，汇交于结点的各杆端可以绕结点自由转动；在铰结点处，只能承受和传递力，而不能传递力偶。,(3) 组合结点（又称不完全铰结点或半铰结点）：在同一结点上，部分刚结，部分铰结。,3、荷载与变形： 静力载荷、动力载荷，表面载荷、内载荷，分布载荷、集中载荷，内力、位移，应力、应变等

5、。,1. 静力荷载：其大小、方向和位置不随时间变化或变化极为缓慢，不会使结构产生显著的振动，因而可略去惯性力的影响。恒载以及只考虑位置改变而不考虑动力效应的移动荷载都是静力荷载。,2. 动力荷载：随时间迅速变化的荷载，使结构产生显著的振动，因而惯性力的影响不能忽略，如往复周期荷载（机械运转时产生的荷载）、冲击荷载（爆炸冲击波）和瞬时荷载（地震、风振）等。,离散结构力学、连续介质力学,桁架：桁架由直杆组成，所有结点都为理想铰结点。当仅受结点集中荷载作用时，其内力只有轴力（拉力和压力）。,（二）基本结构单元 1、杆单元 二力杆单元 位移、力，自由度,2、梁单元 位移、力（力矩）自由度 梁：梁是一种

6、受弯构件，其轴线通常为直线。梁有单跨的和多跨的。其内力一般有弯矩和剪力，以弯矩为主。,3、刚架单元 刚架：刚架由梁和柱组成，结点多为刚结点。其内力一般有弯矩、剪力和轴力，以弯矩为主。,位移、力（力矩）自由度,四、平面桁架单元刚度矩阵,局部坐标系（或称单元坐标系）与整体坐标系（或称系统坐标系）间关系 （图中省略了局部坐标下的y向位移和力）,考虑桁架单元垂直（y向）自由度时，节点自由度为2。局部坐标下的单元刚度矩阵扩展为四阶形式为：,节点 i 的位移分量在局部坐标与整体坐标间的转换关系为： 节点 j 的位移及节点力同样有这种转换关系。则有单元位移及单元力在不同坐标系下的转换关系为：,其中的转换矩阵

7、可记为 ，则上述关系记为：,则可得整体坐标下的单元刚度矩阵为：,则整体坐标下的单元刚度方程为：,分析多单元系统时，由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵。 思考：空间桁架的处理,F,可设计MATLAB程序求解：gsw1.m,有限元方法的MATLAB程序设计可参考书籍： MATLAB有限元分析与应用，（德）P.I.Kattan 著，韩来彬 译，清华大学出版社 有限元分析(基础篇)ANSYS与MATLAB，等,五、梁单元的刚度方程 局部坐标系下，梁单元的变形主要为横向挠度和截面转角，则节点有这两种位移，及对应的节点力（矩）作用。则梁单元节点自由度为2。,单元刚度方程写成矩阵形式为 ：,梁结构的各单元轴向一

8、般为同方向布置,可设计MATLAB程序gsw2.m,六、（平面）刚架单元的刚度方程 局部坐标系下，仅考虑横向弯曲时，节点自由度为2，考虑轴向拉压时，节点自由度扩展为3，此时的刚架单元为轴向拉压与横向弯曲结合，可认为是杆单元和梁单元的综合。,忽略剪切变形对位移的影响，忽略轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的受力变形关系，可写出关系式 ：,写成矩阵形式为,简写为,称为单元坐标系中刚架单元的单元刚度方程。 单元刚度矩阵，简称单刚阵，是66阶的方阵。,单元节点力分量在局部坐标与整体坐标间有转换关系：,或简写成,单元位移同样有这种转换关系。,称为单元坐标转换矩阵。,整体坐标下的单元刚度方程可化为

9、：,为整体坐标系中的单元刚度矩阵,整体结构的分析求解，由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，具体方法与桁架结构的分析相同。 思考：空间刚架的分析 桁架单元、梁单元、刚架单元之间的区别联系 非节点力问题 薄梁、厚梁、基础梁等,结构参数：,可设计MATLAB程序求解：gsw3.m,七、有限元求解 提供已知信息：各单元的编号、尺寸、材料性质，结点的编号、坐标、自由度、边界约束条件等。,零位移约束时，可用划行划列法处理整体刚度方程；一般情况可用置一赋零法、主元赋大值法等。 线性代数方程组的求解方法有：高斯消元法，矩阵分解法，迭代法等。 总刚度矩阵的压缩存储问题。,在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化

10、、标准化和自动化，因而，无论i、j两端的约束情况如何，都可按一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解的未知位移。,结构单元分析图解,1、形成平面桁架结构刚度矩阵K的方法与平面刚架相同。对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。 计算图示桁架的内力。各杆EA相同。,结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。,八、平面杆件结构算例,求得结点2，3位移为,各单元轴力,FN图(KN),可设计MATLAB程序求解：gsw4.m,2、试用先处理法计算图示连续梁的内力，并作弯矩图。忽略各杆

11、轴向变形的影响。,解：(1) 结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。,(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵 。,均布力需要等效为节点载荷！,(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K,(4)形成结构综合结点荷载列阵P,3. 平面刚架 试用先处理法计算图示刚架的内力。已知各杆EA=4.8109N，EI=0.9108Nm2。,解：(1) 结点编号、单元编号、结构位移分量编码及结构坐标系、各单元坐标系如图所示。,均布力需要等效为节点载荷！,(2)计算各单元在结构坐标系中的刚度矩阵,单元,单元,单元,(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K,作业：,说 明 大家所做大作

12、业是本门课程成绩评定的依据，将来是要存档、检查的，需认真完成。一经发现有相互抄袭现象，取消大作业成绩！ 一、所提交大作业要有封面，其上标注有：课程名称、第几次大作业、专业班级、姓名、学号等。 二、对题目做详细描述：原题目结构图示及给定的已知量，结构说明及求解要求。 三、对问题的求解方法、过程做详细说明，列出程序清单（在关键语句后可加注释说明）； 四、对结果做详细分析，列表给出各节点的位移值；支座反力值；等。绘出各单元内力图更好。,以下结构单元参数均取： 杆件截面积为,第一题：,第二题：,第三题：,AB=CD=EF=4m, AC=CE=BD=DF=3m, EG=GF=2.5m,集中力F=10KN

13、，方向与竖直方向倾斜45度角,第四题：,AB=BC=DE=EF=4m, AD=BE=CF=3m,集中力F1=10KN，F2=15KN，,第五题：,AB=2m,BE=1m,EC=1.5m,CF=1.5m,FD=2.5m,B点作用有竖直向下的集中力F=10KN， D点作用有顺时针力矩M=1.5KNm,第六题：,AB=3m,BC=1m,CD=1.5m,DE=1m,EF=2.5m,C点作用有竖直向下的集中力F=10KN，E点作用有顺时针力矩M=1.5KNm，,第七题：,A,B,C,D点作用有数值向下的集中力F=10KN,D,第八题：,A点作用有竖直向下的集中力F1=10KN， C点作用有水平向左的集中力F2=1.5KN,第九题：,点2处作用有竖直向下的集中力F1=10KN,第十题：,AC=BD=2m,CD=3m,FP1=10KN，作用于AC中点，水平向右 FP2=12KN，作用于CD的2/3处，竖直向下,E,F,五、连续弹性体的有限元方法 杆系结构的矩阵分析法的推广应用于连续介质力学。 （一）弹性力学基础,1、弹性力学基本方程,（只介绍静力学问题）,平衡方程 几