王划一_自动控制原理_7-3相平面法2.ppt

1、1,自动控制原理课件,2,734 奇点和奇线,引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹，而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下两个基本特征。,3,1奇点 奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点，就是指相轨迹的斜率d /dx = 0/0为不定值的点，因此可以有无穷多条相轨迹经过该点。,4,奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小偏差理论，在奇点（x10，x20）附近展开成泰勒级数,Q(x10，x20) = 0,系统在奇点附近

2、的线性化方程,5,系统在奇点附近的运动状态就由上式的两个特征根决定。根据特征根的分布情况，系统相应有六种奇点： 稳定节点 两个负实根 相轨迹是一簇趋向原点的抛物线。系统在奇点附近是稳定的。 不稳定节点 两个正实根 相轨迹是由原点出发的一簇发散型抛物线。系统在奇点附近是不稳定的。 稳定焦点 在左半平面的一对共轭复数根 相轨迹是收敛于原点的一簇螺旋线。系统在奇点附近是稳定的。 不稳定焦点 在右半平面的一对共轭复数根 相轨迹为一簇从原点发散的螺旋线。系统在奇点附近是不稳定的。,6,鞍点 一个负实根，一个正实根 系统在奇点附近是不稳定的。 中心点 一对纯虚根 相轨迹是一簇同心的椭圆曲线。系统在奇点附近

3、可能稳定，可能不稳定，与忽略掉的高次项有关系。,7,8,9,例7-7 试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。,根据奇点的定义，得,解：（1）确定奇点。,10,（2）确定奇点的类型。 在奇点（0，0）附近，可得系统的线性化方程为,它的两个特征根为 -0.25 j1.39，故该奇点是稳定焦点。 在奇点（2，0）附近，由于该奇点不在坐标原点，先进行坐标变换，令y = x+2，则此时系统的线性化方程为,它有两个特征根1.19和1.69，因此这个奇点为鞍点。,11,分隔线,12,2. 奇线,奇线是相平面图中具有不同性质的相轨迹的分界线。通常见到的奇线有两种：分隔线和极限环。 相平面图上孤立的封闭相

4、轨迹，而其附近的相轨迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹，这样的相轨迹曲线称为极限环。在描述函数中所讨论的非线性系统的自振荡状态，反映在相平面图上，就是一个极限环。根据极限环的稳定性，极限环又分为三类。 （1）稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹都趋向于该环，这种极限环称为稳定极限环。,13,从系统的运动状态来看，这种稳定极限环表示系统具有固定周期和幅值的稳定振荡状态，即自振荡。从相平面图上看，稳定极限环把相平面图划分成两个区域。由于在极限环内部的相轨迹随时间的增加是发散的，故内部区域为不稳定区。而在极限环外部的相轨迹随时间的增加收敛于这个极限环，因此外部区域为稳定区。通常在设计系统时，则应尽量减小这

5、种极限环，以满足对稳态误差的要求。,14,（2）不稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹从极限环发散，这种极限环称为不稳定极限环。系统的运动状态与初始条件有关，若初始状态在环内，则系统状态将趋于平衡点（坐标原点）。反之，系统状态将远离平衡点。所以具有不稳定极限环的系统，其平衡状态是小范围稳定的，大范围是不稳定的。通常在设计系统时，应尽量增大极限环。,15,（3）半稳定极限环 如果两侧的相轨迹，其中一侧离开极限环，另一侧趋向于极限环，这种极限环称为半稳定极限环。对于图7-32（c）来说，由于被极限环所划分的两个区域都是不稳定的，因此系统将具有振荡发散状态。而对于7-32（d）来说，两个区域都是稳定的，

6、所以系统的运动状态最终将趋于环内的平衡点，不会产生自振荡。,16,735 非线性系统的相平面法分析,1 相平面法分析非线性系统 利用相平面法分析非线性系统的一般步骤为: （1）首先将非线性特性分段线性化，并写出相应的数学表达式。 （2）在相平面上选择合适的坐标，并将相平面根据非线性特性划分成若干个线性区域。前面我们取的相平面坐标，都是系统的输出量c及其导数dc/dt 。实际上系统中的其它变量也同样可用作相坐标。当系统有阶跃或斜坡输入时，选取非线性环节输入量即系统的误差e和de /dt作相坐标，会更为方便。,17,（3）根据描述系统的微分方程式绘制各区域的相轨迹。 （4）把相邻区域中的相轨迹。在

7、区域的边界上适当连接起来，便得到整个非线性系统的相平面图，根据该相平面图，即可判断系统的运动特性。,例7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图示，试利用相平面法分析系统的阶跃响应。,18,解：非线性特性的数学表达式为,线性部分的微分方程式为,考虑到r c = e，上式又可写成,当输入信号为阶跃函数时，则在t 0时，r = r =0，因此有,19,根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。 I区：此时系统的微分方程式为,按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点（欠阻尼情况下）。相轨迹是一簇趋向于原点的螺旋线。, e a,20,II区：系统的微分方程式为,

8、等倾线方程为:,e a,21,22,III区： 系统的微分方程式为,e a,等倾线方程为:,23,24,开关线,25,例7-9 图为具有理想继电器特性的非线性系统，试用相平面法分析 (1) 无局部负反馈时系统的阶跃响应。 (2) 加入局部负反馈后系统的阶跃响应。,26,解：（1）无局部负反馈时线性部分的微分方程为,并解得,当输入信号为阶跃函数，则当t 0时， 。考虑到理想继电器特性，故系统的微分方程为,若取k =1，可将上式改写成,27,式中A是与初始条件有关的积分常数。上式表明系统的相轨迹为两簇抛物线。其开关线为纵轴，开关线将相平面分为两区域，系统将产生周期运动。注意，这个周期运动不是自振荡。,28,（2）加入局部负反馈后，则非线性元