波利亚怎样解题实例分析

1、.怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写

2、的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在abc中，ab=ac求证：b=c精品.分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：b=c问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形abc中，ab=ac问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则

3、、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？精品.答：1、未知是求b=c，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察b、c所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中b、c处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将b、c分别处于两个三角形中，可在a点引下一条线与bc相交。2、

4、新问题出现了：如何证明abdacd？答：已知中含有ab=ac，从图中可得ad=ad，尚缺少一个条件。3、新问题：加入什么条件就可以了？答：bad=cad，可利用角边角进行判定。或bd=cd，可利用边边边进行判定。或adbc，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。如做角a的角平分线，或做bc边上的中线，或做bc的垂线。精品.到此，此题可解。问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题

5、条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 能直接运用公式（，）求解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计

6、算能力。精品.例3、已知：如图，在abc中， ab=5，ac=3，d为bc中点，求ad取值范围。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求ad的取值范围。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在abc中， ab=5，ac=3，d为bc中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答： 条件中两条边的边长分别是ab、ac，所属三角形为abc，而所求ad边长所属是acd或adc。精品.问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转

7、化吗？答：已知中的边长为 ab、ac，要想使用三角形三边关系，需将ab、ac和ad边联合到一个三角形中。考虑：需移动ab或ac并到ac或ab与ad或包含ad的线段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长ad至e，使ad=ae，则可出现acdebd，可得ac=be，则2ae8,可得1ad4。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。2、当条件分散时，可向定理集中。例4、已知：如图，abc中，bf平分abc，cf平分acb，edbc，求证：de=be+cd问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：线段de的长等于ef与fd的和。

8、问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线bf和cf，平行线de平行于bc。问题3、以前做过类似的题吗？精品.答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 角分线定理，平行线性质。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答： 从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答： 根据角平分线性质，可得cbf=ebf，根据平行线性质可得cbf=efb，进而可得efb=cbf，可以得到等腰三角形ebf，可得be=ef。根椐对称原则可得cd=fd。进而此题可解。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么

9、特点呢？答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。例6、已知x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一个根，则m+2mn+n的值。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m+2mn+n的值。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一个根。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 不能直接运用公式求解。精品.问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答： 不能。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知1+1m+

10、 n = 0，进而可得m+n=0。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为 m+2mn+n=（m+n），即若知m+n的值可得未知。到此，此题可解。例7、如图，在四边形abcd中，已知abcd，m、n、p分别是ad，bc的中点，bdc=700，cosabd= ，求nmp的度数。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求nmp的度数。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：abcd，m、n、p分别是ad，bc的中点，bdc=700，cosabd=。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问

11、题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？精品.答： 相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：1、由中位线定理可知，ab=2mp；cosabd=可知abd=300；进而可得mpd=300；2、由中位线定理可知dc=2np；由bdc=700，可知bpn=700；进而可得npd=1100；进而可得mpn=1400；3、由中位线定理和已知ab=cd可知mp=np；进而可知mp=np；进而可得pmn=pnm。综合以上因素，可得nmp=mnp=200。到此，此题可解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的

12、题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。2、有中位线，可寻找相等的线段。例8、如图所示：已知xoy900，点a，b分别在射线ox，oy上移动，oab的内角平分线与oba的外角平分线交于c，求acb的度数。精品.问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求acb的度数问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：xoy900，点a，b分别在射线ox，oy上移动，oab的内角平分线与oba的外角平分线交于c问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角

13、形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：abo的外角的度数与bao是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：abo的外角abe在度数上等于（900+oab），则外角的一半edb应等于（900+oab），而abo应等于（900-oab），则abc应等于二者之和：abc=（900+oab）+（900-oab）=（1350-oab）。精品.问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求ac

14、b的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800cbabac的度数。2、根据以上所得，则有acb=1800cbabac=1800（1350-oab）oab=450。 原题得解。即无论a、b如何运动，只要角平线不改，acb永远等于450。问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答： 例9、如图，abc为正三角形，bd是中线，延长bc至e，使ce=cd。求证：db=de。问题1、未知是什么？你能复述它吗？精品.答：求证：db=de。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：abc为正三角形，bd是中线，ce=cd。问题3、以前做过类似的题吗？ 问题4、与已知相关的定理有什么

15、？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：根据已知中abc为正三角形，bd是中线可得dbc=abc=acb。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据已知中ce=cd，可得ced=cde。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求证db=de，如何能出现？答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要dbc=cde即可；2、新问题：与此相关联的角有那些？答：与dbc相关联的角是acb，而acb又是dc

16、e的外角，这似乎可行；3、有新进展吗？答：由三角形外角定理可得ced=acb，进而可得dbc=cde。原题得证。精品.问题8、如何书写过程？问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答： 1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。 2、在同一三角形中有等边就有等角。例10ad是abc的角平分线，de，df分别是abd和acd的高，求证：ad垂直平分ef。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：ad垂直平分ef问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：ad是abc的角平分线，de，df分别是abd和acd的高问题3、以前做过类

17、似的题吗？答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：ad是abc的角平分线，de，df分别是abd和acd的高，联和可得de=df。精品.问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：未知是求ad垂直平分ef，在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理，只要能证明de=df即可。原题得证。例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子，遗嘱上说，老大应比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗，问他们各分了多少？问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求兄弟三人各分多少钱。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。问题3、你能表示出所