高中数学必修内容复习(15)―探索性问题

1、高 中 数 学 必 修 内容 复 习 （15）探索性问题一、选择题 （本题每小题5 分，共 60 分）1集合 a a，b，c ，集合 b 1，0，1 ，f是 a 到 b 的映射，且满足条件 f(a)+f(b)+ f(c)=0 ，这样的映射共有（）a 6 个b 7 个c 8 个d 9 个2 在abc 中， sinasinb是 ab 成立的（）a 充分非必要条件b必要非充分条件c 充要条件d既不充分也不必要条件3直线 xy1 与椭圆 x2y2相交于a、b两点，该椭圆上点，使得apb的面43161p9积等于 3，这样的点p 共有（）a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个4设数集 mx mxm3x

2、n1x n，且 m 、n 都是集合 x 0x 1, n34的子集，如果把 ba 叫做集合 x a xb 的“长度”，那么集合 mn 的“长度”的最小值是（）a 1b 2c 1d 53312125pq 是异面直线 a，b 的公垂线， ab，aa，bb，c 在线段 pq 上（异于 p,q ），则 abc的形状是（）a 锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d三角形不定6用一张钢板制作一容积为4m3 的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（）a 2 5b 2 5.5c 2 6.1d 3 5第1页共 14页7

3、算机是将信息 成二 制数 行 理的，二 制即“逢2 进 1”，如（ 1101） 2表示二 制数 ,将它 成十 制形式是1 23+1 22+0 21+120=13，那么将二 制数（1111） （ 2004 个 1） 成十 制形式是（）2a 2 2004 2b 2 2003 2c 2 2004 1d 2 2003 18数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 的 是（）a 42b 45c 48d 51在(1+ x)2+(1+ x)6+(1+ x)7 的展开式中，含x4 的系数是等差数列an=3n 10 的 （）9a 第 2 项b第 11 项c第 20 项

4、d第 24 项10已知集合 a= x|x2 2x 30,b=x|x2 +ax+b 0 ，若 a b=r ，a b=（ 3，4 有（）a a=3,b=4b a=3,b= 4c a= 3,b=4d a= 3,b= 4不等式22x a a的解集是（）ax 0)11+(a |x0 或x 5b | a xax2x a4c x|0 xad x| ax 5 a 或 0 xa4x2y 21 的 a 1a2，短 b1b 2，将坐 平面沿y 折成一个二面角，使12 34a 1 点的平面 b1 a2b 2 上的射影恰好是 的右焦点， 此二面角的大小 （）a 30b 45c 60d 75二、填空 （本 每小 4 分，

5、共 16 分）13已知定点 a( 2， 3 ),f 是 x 2+ y 2=1 的右焦点，点 m 在 上移 ， 当|am|+16122|mf| 取最小 ，点m 的坐 是.14 若(x2 1)n 的 展开式中含x 的 第 6 ， (1 x+2 x2)n=a0+a1x+a2 x2 + +a2nx2n ,则xa1+a2 +a3 + +a2n=.第2页共 14页15定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 an 是等和数列，且a1 2 ，公和为 5，那么 a18的值为 _，这个数列的前n 项和 sn 的计算公

6、式为 _ .16定义集合 a 和 b 的运算： abx xa, 且 xb .试写出含有集合运算符号“”、“ ”、“”，并对任意集合a 和 b 都成立的一个等式：_.三、解答题 （本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17（本小题满分12 分）已知函数fxxk 2k 2kz，且 f (2)f (3)( )（ 1）求 k 的值；（ 2）试判断是否存在正数p ，使函数 g (x)1p f (x) 2 p 1 x 在区间 1,2上的值域为4,17.若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由 .8第3页共 14页18（本小题满分12 分）已知函数f(x)=( x a)

7、(xb)(x c)（ 1）求证： f (x)=(xa)(xb) (xa) (xc) (xb) (x c)；（ 2）若 f(x)是 r 上的增函数，是否存在点 p，使 f(x)的图像关于点 p 中心对称？如果存在，请求出点 p 坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由第4页共 14页19（本小题满分12 分）已知奇函数fx 的定义域为全体实数，且当 x0 时， f x0 ，问是否存在这样的实数，使得fcos23f42cosf0 对所有的0,均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由.2第5页共 14页20（本小题满分12 分）在 abc 中， a， b， c 的对边分别为a,

8、b,c，且 b,a,c 成等差数列， bc，已知 b( 1,0),c(1,0) 。（ 1）求顶点a 的轨迹 l ；（ 2）是否存在直线m，使 m 过点 b 并与曲线l 交于不同的两点p、q，且 |pq|恰好等于原点到直线m 的距离的倒数？若存在，求出m 的方程，若不存在，说明理由.第6页共 14页21（本小题满分12 分）如图，在底面是菱形的四棱锥p abc 中， abc=60 0，pa=ac= a，pb=pd=2a ,点 e 在 pd 上，且 pe:ed=2:1.（ 1）证明 pa平面 abcd ；（ 2）求以 ac 为棱， eac 与 dac 为面的二面角的大小；（ 3）在棱 pc 上是否

9、存在一点f，使 bf/ 平面 aec ？证明你的结论.peadbc第7页共 14页22（本小题满分14 分）已知数列 an 中， a1=4， an+1= 4an2 ，是否存在这样的数列 b n ，an 1nba nc ，其中 a 、 b 、c 为实常数，使得 b n 是等比数列而不是等差数列？证明你b =ana的结论，并求 an 的取值范围 .第8页共 14页答 案一、选择题（每小题5 分，共 60 分）：(1).b(2).c (3).b (4).c (5).c (6).d (7).c (8).b (9).c (10).d (11).c (12).c二、填空题（每小题4 分，共 16 分）(1

10、3). (23 ,3 ) ；(14). 255 ；(15). 3当 n 为偶数时， sn5 n ；当 n 为奇数时， sn5 n1222(16). a( ab)( ab) b ； b ( ab )( ab ) a ；( a b ) ( a b) ( a b ) ( b a) ；三、解答题（共74 分，按步骤得分）17.解：（ 1） f (2)f (3) ，k 2k20 ，即 k 2k 20 ， kz ，k或0 12 p 1221（ 2） f ( x) x2，g (x) 1 p x22 p 1 xp x4 p2 p4 p当2 p11,2 ，即 p1 ,时，2 p44 p 2117 , p2, g

11、 ( 1)4, g (2)14 p8第9页共 14页2 p12,时， p0，这样的p 不存在。当2 p当 2 p1, 1 ，即 p0, 1时， g(1)17 , g (2)4 ，这样的 p 不存在。2 p48综上得，p2 .18. 解：（ 1） f(x)=(x a)(x b)(x c) 3（ a+b + )x2 (ab+bc+ac)x abcf (x)=3 x2 2(a+b + )x (ab+bc+ ac)= x2 ( a+b) x ab x2 (a+c)x ac x2 (b+c) x bc=(x a)( xb) (x a)(x c) (x b)(xc)（ 2） f(x)是 r 上的单调函数，

12、f (x) 0，对 xr 恒成立，即 3x2 2(a+b+c)x+(ab+bc+ca) 0 对 xr 恒成立 0, 4(a+b+c) 2 12(ab+bc+ca) 0， (ab) 2 (ac） 2 (b c)2 0， a=b=c f(x)=(x a)3 ， f(x)关于点 (a， 0)对称证明如下：设点p(x， y)是f(x)=( x a)3 图像上的任意一点，y=(xa) 3，点 p 关于点 (a， 0)对称的点 p (2ax， y)， (2a x a)3=(2 a x)3= (x 2a)3= y ，点 p在函数 f(x)=( xa)3 的图像上，即函数f(x)=( x a)3 关于点 (

13、a， 0)对称19. 解：因为 fx在 r 上为奇函数，又在0,上是增函数所以 fx 在 r 上也是增函数，且f 00因为 fcos23f 42cosf 00所以fcos23f42 cosf 2cos4故 cos232cos4cos2cos22 0第10页共14页要使不等式对任意0,恒成立，只要大于函数 y2cos2的最大值即可。22cos令 tcos0,1 ，则求函数 y2t 2t0,1的最大值，2t2t2t24t2方法 1（求导） y202t2t解得： t22，因 t0,1t22当 0t22，时， y0 ；当 1t22 时， y0故 ymax422 ，因此422,方法 2（判别式）把函数变

14、形为t2yt2 y20设 gtt 2yt2 y2，即 gt0在0,1 上有解当 y0时，必须g00y11，矛盾；g10且 y当 0y2时，g00或g20y 28y 8 0y28y 8 0g 00或g20y422 或 y422此时 ymax 4 22 ；y28 y80当 y2时，必须g00y1且 y1 ，矛盾；g 102t264t2 t22方法 3（不等式）y42t2t2t2 t42 2 ，此时 2t2t220,12t20. 解：（ 1）由题设知 b+c=2a ， |bc|=2,|ab|+|ac|=b+c=2a=2|bc|=4,又 b c，故由椭圆的定义知，点a 的轨迹 l 是左半个椭圆（去掉左

15、顶点），第11页共 14页22轨迹方程为： xy+=1 （ 2x 0 ）。4 3（ 2 ）假设存在直线 m 满足题意，当 m 斜率存在时，设m 的方程为 y=k( x+1) ，把它代入椭圆方程，消去 y 得 (4k 2+3) x2+8k 2 x12+4k 2=0 。设 p( x1 ,y1)q( x2 ,y2 )，则 x1 +x2 =8k 2， x1 x2 =4k212 ，4k 234k 23又x1 0,x20 ，即 x1x20, k23，|pq|=(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 = 12(k 21)4k 23设原点 o 到直线 m 的距离为 d，则 d=| k |k 2,1|p

16、q|=1,12(k 21)=k 21 ，得 k2=153333 ，d4k 23| k |32这与 k2 3 矛盾，表明直线m 不存在。当斜率不存在时，m 的方程为 x= 1 ，此时 |pq|=|y 1 y2 |=3,d=1 ，|pq| 1 ，d所以不满足题设。综上，满足题设的条件不存在。21. 证明 ： 因为底面 abcd 是菱形， abc=60 ，所以 ab=ad=ac=a，在 pab 中，由 pa2+ab 2=2a2=pb2知 pa ab.同理， pa ad ，所以 pa平面 abcd.（）解作 eg/pa 交 ad 于 g，由 pa平面 abcd.知 eg平面 abcd. 作 gh ac

17、 于 h，连结 eh ，则 eh ac ， ehg 即为二面角的平面角 .又 pe : ed=2 : 1 ，所以123.ega, aga,gh ag sin 603a33从而 taneg3 ,30 .gh3（）解法一以 a 为坐标原点，直线ad 、 ap 分别为 y 轴、 z 轴，过 a 点垂直平面pad 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为a(0,0,0), b(3 a,1 a,0), c (3 a, 1 a,0).222221a).d (0, a,0), p( 0,0, a), e(0,a,33第12页共14页所以ae(0, 2 a, 1 a), ac(

18、3 a, 1 a,0).3322ap(0,0, a), pc(3 a, 1 a, a).22bp31(a,a, a).22设点 f 是棱 pc 上的点， pfpc(3 a, 1 a ,a), 其中 01, 则22bf bp pf (3 a, 1 a,a) ( 3 a , 1 a , a )2222(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 bf1 ac 2 ae 得223a(1)32a 1 ,11 ,21)122 ,即 142 ,a(1a 1a12233a(1)1 a2 .11 2 .33解得1 , 11 , 23 .即1 时， bf1 ac3 ae.222222亦即， f 是 pc 的中点时，bf 、 ac 、 ae 共面 .又 bf 平面 aec ，所以当 f 是棱 pc 的中点时， bf/ 平面 aec.解法二 当 f 是棱 pc 的中点时， bf/ 平面 aec ，证明如下，证法一 取 pe 的中点 m ，连结 fm ，则 fm/ce. 由em1 pe ed , 知 e 是 md 的中点 .