专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

1、专题函数常见题型归纳三个不等式关系： （1）a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取等号 （2）a，bR，ab2，当且仅当ab时取等号 （3）a，bR，()2，当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2(或ab()2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市20152016学年度第一学期期末11）已知且，则的最小值为 .【解析】且，解得或，即练习：1（南京市、盐城市2015届高三年

2、级第一次模拟10）若实数满足，且，则的最小值为 解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么=（xy）+2=4，当且仅当（xy）=，即x=+1，y=1时等号成立，故的最小值为42.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足，则的最小值为 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则的最小值为 .【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟12）已知x，y为正实数，则的最大值为 解析：由于=1+=1+1+=，当且仅当4=，即y=2x时等号成立【典例3】若正数、满足,则的最小值为_.解析：由,得,解得(当且仅当且,即

3、时,取等号).变式：1.若,且满足,则的最大值为_.解析：因为,所以由,解得(当且仅当且,即时,取等号).2.设，则的最小值为_ 43.设，则的最大值为_ 4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满足，则的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则的最小值为 练习1（江苏省镇江市高三数学期末14）已知正数满足，则的最小值为 .解析：对于正数x，y，由于+=1，则知x1，y1，那么+=（+）（1+1）=（+）（+）（+）2=25，当且仅当=时等号成立2.（20132014学年度苏锡常镇四市高三教学情况

4、调查（一）11）已知正数满足，则的最小值为 解析：，当且仅当时，取等号故答案为：93（南通市2015届高三第一次调研测试12）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a1，那么+=（a1+b）（+）=（4+1）（2+5）=，当且仅当=时等号成立4（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试12）己知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b的最小值为_【解析】由于直线ax+by6=0与直线2x+（b3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）=（2a+3b）（+）=+132+13=25，当且仅当=，即a=b时

5、等号成立5.常数a，b和正变量x，y满足ab16，.若x2y的最小值为64，则ab_.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为 答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试14）已知，则的最小值为 解析：由得 ，令 则当且仅当 即 等号成立练习1（江苏省扬州市2015届高三上学期期末12）设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是 解析：由x22xy10可得y=，那么x2y2= x2=x2+2=，当且仅当x2=，即x4=时等号成立 2（苏州市2014届高三调研测试13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 解析：正实数x，

6、y满足xy+2x+y=4，（0x2）x+y=x+=（x+1）+3，当且仅当时取等号x+y的最小值为故答案为：3（南通市2014届高三第三次调研测试9）已知正实数满足，则的最小值为 解析：正实数x，y满足（x1）（y+1）=16，x+y=，当且仅当y=3，（x=5）时取等号x+y的最小值为8故答案为：84.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取得最小值的实数= 。5.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_6.已知，且，求的最大值为_【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试13）已知函数f(x)ax2xb(a，b均为正数)，不等式f(x)0

7、的解集记为P，集合Qx|2tx2t若对于任意正数t，PQ，则的最大值是 【解析】由题意可知任意正数t，集合Qx|2tx2t，构成的集合的交集为，即，令，当且仅当，等号成立，或（舍）故则的最大值是2（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数a，b，c满足b+ca，则+的最小值为解法一：正数a，b，c满足b+ca，+=（+）+=+当且仅当=时取等号故答案为：解法二：由 得，令，则，所以，当且仅当时等号成立故的最小值为练习1（江苏省南京市2016届高三第三次模拟14）若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为 解析：由2x2xyy21可得，令，则，代入得，令，则，当

8、且仅当时取等号，故的最大值为2设是正实数,且,则的最小值是_.解:设,则, 所以= . 因为 所以. 3.若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为 4（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题（一）14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为 5 .解析：当时，取最大值8，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 【解析】设，则，代入得：，由，解得，即xy的取值范围为.练习1. （泰州市2016届高三第一次模拟13）若正实数满足，则的最大值为 【解析】令，则，因此，当时，因此的最大值为

9、2.设，则的最大值为_ 变式1（江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题14）在平面直角坐标系中，设点，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是 解析：由题意得：，对任意实数都成立，因此，即对任意实数都成立，即，对任意实数都成立，即，即，实数的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立2）对恒成立分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一

10、般地有：1）恒成立2）恒成立确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2（南京市2014届高三年级第三次模拟14）设二次函数（为常数）的导函数为对任意，不等式恒成立，则的最大值为 解析：，对任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案为：【题型六】分离参数法【典例8】（2013-2014学年江苏省镇江市高三（上）期末14）已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为_ 解析x0，y0，不等式x3+y3kxy（x+y）可化为，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得，k21=1，实数k的最大值为1，故答案为：1练习1（江苏省苏北三市2016届最后一次模拟3）已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为 .解析：，而，因此即实数的取值范围为2若不等式x22x