投资学资料：第8章_债券投资分析

1、 第8章债券投资分析本章提要债券价格等于债券未来现金流现值之和，其主要受市场利率波动影响。债券到期收益率的高低，是投资人决定是否投资的重要依据。利率期限结构预示了未来利率变化趋势。久期量化了不同期限、不同息票率和不同到期收益率债券对利率变动的敏感性。重点难点理解折现率的涵义，能熟练计算债券现金流现值和终值掌握债券合理价格的基本公式及计算熟练应用债券价格六大定理分析债券价格变化趋势理解到期收益率的涵义，能用公式计算债券到期收益率了解利率期限结构和收益率曲线理解久期的涵义，掌握久期的计算及应用引导案例债王格罗斯：当前债市是迟早会爆炸的超新星周四，10年期德债收益率刷新纪录低点0.031%。当第二个

2、“一生一次”机会到来时，格罗斯称：全球收益率降到500年来最低，超过10万亿美元债券是负利率；债市是一个早晚要爆炸的“超新星”。去年4月，10年期德债收益率跌至0.049%，格罗斯说做空德债是一个巨大的投资机会，有10%15%的收益率。随后，德债暴跌、德债收益率激增。但受欧央行超级宽松政策推动，德债在大幅调整后重新上扬。此前，格罗斯接受彭博新闻社采访时表示，他不再购入长期债券、高收益类债券或是股票，而是开始做空信用风险、做多市场波动性。资料来源:华尔街见闻2016年6月10日。作者有删改。案例思考债券负利率是什么原因造成的？债券负利率会导致债市爆炸吗？ 债券尤其是国债被投资人视为一种重要的避险

3、工具，被比喻为“笼中鸟”，适合在经济形势欠佳时投资。迄今为止，你对债券“笼中鸟”还只是远观：它定期支付利息，对其风险有专业评级机构进行评级，债券交易有流动性风险等。本章将在第二章有关债券知识的基础上，以投资债券的现实需要为目标，透视债券市场运行机理：债券定价的基础是什么？投资债券预期能有多高的收益？如何分析和应对债券的利率风险？ 8.1 债券估价投资人购买债券后可获得相对稳定的现金流。如果发行人不违约，则投资人在购买债券时就知晓该债券未来的现金流量，并会根据这些未来现金流量来估算债券价值。8.1.1 债券定价基础债券定价涉及未来一系列不同时点现金流量，不能简单相加和比较，因为不同时点现金流的价

4、值不同，如今天100元现金的价值明显高于明年100元现金的价值，更会高于后年100元现金的价值。我们将当前一定量现金比未来等量现金具有更高价值，或者当前数额较少的现金可能与未来数额较大的现金具有相同价值，即不同时点现金流之间的等价转换关系，称为货币的时间价值(time value of money)。货币时间价值产生的原因主要有：货币可用于多种产品中选择投资，具有机会成本机会成本是指选择一项投资后，必须放弃的其他投资中最高的预期收益率。 ；通货膨胀可能造成货币贬值；投资可能遭遇投资风险，需要获得相应补偿。因此，要比较和加总不同时点的现金流，需将其转化为当前时点，或是未来某一时点。实践中转化为当

5、前时点较为常见，该方法被称为现金流折现法(discounted cash flow)，即对未来的现金流量及其风险进行预测，然后选择合适折现率，将未来现金流量折算成现值。1.折现率折现率(discount rate)亦称贴现率，是将一项资产的未来价值折算为现值时使用的预期回报率，其大小与获得未来现金流量的风险大小成正比。折现率可以视为投资人要求的必要收益率，或者是投资的机会成本，经常用市场利率市场利率指市场中资金供给和资金需求所决定的均衡利率。实际投资中，反映短期市场利率的指标有银行间拆借利率、国债回购利率等。来代替。2.现值和终值现值(present value，PV)是未来某一时点的现金流折

6、算为当前时点的价值。终值(future value，FV) 也称未来值，是当前时点的现金流通过复利转化为未来某一时点的价值。若初始投资的现值为PV，投资T期（年）后对应的终值为FVT，每期（年）折现率或市场利率为r，则该笔现金流现值和终值的关系为： (8-1) 或 （8-2）上式中利率r和投资期数T的时间单位相同，如果T以月为单位，则r就是月利率，而不是年利率。被称为终值利率因子（future value interest factor），被称为现值利率因子（present value interest factor）。若期数T越长，折现率r越高，则现值利率因子越小， 终值利率因子越高。假设r

7、1=8%，r2=10%，则未来8年现值利率因子和终值利率因子分别如表8-1和表8-2所示：表8-1 不同折现率下现值利率因子1 年后2年后3年后4年后5年后6年后7年后8年后8%0.92590.85730.79380.73500.68060.63020.58350.540310%0.90910.82640.75130.68300.62090.56450.51320.4665表8-2 不同折现率下终值利率因子1年后2年后3年后4年后5年后6年后7年后8年后8%1.08001.16641.25971.36051.46931.58691.71381.850910%1.10001.21001.3310

8、1.46411.61051.77161.94872.1436 【例8-1】假定每年收益率是8%。问：5年后500万元的现值是多少？5年后500万元在15（5+10）年后又值多少？解答：本例涉及三个时间点，当前、5年后和15年后，其时间轴如图8-1所示： 0 1 2 3 4 5 15 ？ 500 ？ 图8-1 不同时点货币价值的对应关系 根据公式（8-2），5年后500万元的现值为： 根据公式（8-1），5年后500万元在15年后的价值为： 因此，今天340.30万元=5年后500万元=15年后1079.45万元。3.复利频率分析现值和终值时假定年复利频率是1次，但实际复利频率可能高于1次，如按

9、揭合同规定的是年利率，但计息（月利率=年利率/12）、付款每月一次，年复利频率为12次。当复利频率为m次时，相应现值和终值关系为： (8-3) (8-4)当年复利次数时，称之为连续复利。根据极限，可得连续复利下债券现值和终值关系为： (8-5)或 (8-6) 表8-3列举了以8%的名义利率投资时，1元人民币分别按照年、半年、季、月、日和连续复利计息，在一年年末获得不同收益的情况。表8-3 复利频率对终值的影响 频率 r/m mT 1元人民币的将来值 年 8%/1=8% 11=1 1(1+8%)=1.08 半年 8%/2=4% 21=2 1(1+4%)2=1.081600 季 8%/4=2% 4

10、1=4 1(1+2%)4=1.082432 月 8%/12=0.6667% 121=12 1(1+0.6667%)12=1.083000 日 8%/365=0.0219% 3651=365 1(1+0.0219%)365=1.083278 连续复利 1e0.081=1.0832878.1.2 债券定价基本公式债券现金流包括两部分，一是至到期日为止所有支付的利息，二是到期时收到的债券面值。将上述所有现金流折算成现值并求和，就是债券的合理价格P，即： （8-7）式中：T距离债券到期日的时间间隔（通常为年）； Ct债券第t期支付的利息； r市场利率或折现率这里假设一种利率适用于任意期限的现金流贴现，

11、其目的主要是简化分析。 ； M债券面值。当每年利息相等（用C表示）时，运用等比数列求和公式，公式（8-7）可改写为： （8-8）如果债券利息支付频率是半年一次，则公式（8-8）可以改写为： （8-9）【例题8-2】某债券面值为100元，到期期限为15年，票面利率为11%，折现率为10%。试计算：当债券每半年付息一次和每年付息一次时，该债券的合理价格。解答：根据公式（8-9），半年付息一次时债券合理价格为：利用excel计算的程序是：进入财务函数PV（现值）；将Rate（折现率）=5%（10%/2），Nper（利息总期数）=30（215），Pmt（每期支付的利息）=5.5（11/2），Fv（债券

12、面值）=100，Type（现金流在期末收到）=0等代入，可得债券合理价格约为107.69元计算结果是-107.69，因为EXCEL将债券的购买价格视为现金流出。 。由于债券市场价格低于债券合理价值，故该债券被低估。根据公式（8-8），每年付息一次时债券合理价格为： 【例题8-3】债券发行人拟发行面值为1 000元，偿还期限为20年，每年付息一次、年利率为12%的债券。问：（1）当折现率为15%、10%和12%时，对应债券发行价格是多少？（2）以此例说明，债券发行折价、溢价和平价的依据是什么？解答：（1）根据公式（8-8），对应折现率15%、10%和12%的债券发行价格分别为：（2）债券溢价、平

13、价和折价发行的依据是：当债券票面利率高于折现率（12%10%），债券发行价格较债券面值高，此时溢价发行（premium issue）；当债券票面利率等于折现率（12%=12%），债券发行价格等于债券面值，此时平价发行(par issue)；当债券票面利率低于折现率（12%15%），债券发行价格较债券面值低，此时折价发行(discount issue)。【例题8-4】假定市场利率维持在12%不变，有三种票面利率分别为10%、12%和14%面值为1000元的20年期债券，请分析三种债券价格随着时间推移所发生的变化。解答：根据公式（8-8），计算三种债券价格变化情况如表8-4所示。表8-4 债券价格

14、随时间的变化剩余到期年限折价债券价格（r=12%,i=10%）溢价债券价格(r=12%,i=14%)平价债券价格(r=12%,i=12%)20151050850.611863.783886.966927.90410001149.391136.221113.001072.10100010001000100010001000表8-4显示：折价债券的价格随着到期日临近不断上涨，溢价债券的价格随着到期日临近不断下降，两者在到期日的价格都等于债券面值；平价债券价格始终等于面值。因此，债券价格有向债券面值回归的趋势，这或许是对债券是笼中鸟的最好诠释。8.1.3 永久公债、零息债券和可赎回债券的合理价格永久

15、性公债每年支付固定的利息，没有到期期限，其合理价格为： （8-10）零息债券的发行价格通常低于债券面值，在债券存续期内没有任何利息回报，发行人以债券面值做为到期日偿还的债券本金。零息债券的合理价格为： （8-11）可赎回债券(Callable Bond)是指发行人根据约定条件可以赎回的债券，其合理价格为： （8-12）式中：nc至第一可赎回日期为止的年数；Pnc债券的赎回价格。8.2 债券价格变动的六大定理市场利率变动是债券投资的最主要风险。马尔基尔（Burton G.Malkiel）、霍默（Homer)和利博维茨(Liebowitz)研究了利率变动下不同种类债券价格的变化规律，给投资人提供了

16、分析思路和应对方法。8.2.1 面对多种债券该如何选择了解债券价格变动六大定理，可以从分析下面两个例题开始。【例题8-5】有期限为1、5、10、15和20年面值都是100元的五种债券，息票率都是5%，年付息两次。当前市场利率为5%，未来市场利率可能为4%、5%和6%。请分析：以市场利率5%为基期，未来市场利率升降1%时债券价格变动规律。解答：计算未来不同利率下债券的价格，以及以5%为基期利率时利率升降1%的债券价格变化如表8-5所示：表8-5 不同市场利率下债券价格及其变动幅度不同期限债券未来各种可能利率下债券价格利率增减1%对价格的影响4%5%6%下降1%上升1%1年期债券100.97100

17、99.040.97%-0.96%5年期债券104.4910095.734.49%-4.27%10年期债券108.1810092.568.18%-7.44%15年期债券111.2010090.2011.20%-9.80%20年期债券113.6810088.4413.68%-11.56%从表8-5可得如下规律：市场利率上升时债券价格下降，市场利率下降时债券价格上升。当市场利率下降（上升）时，期限越长则债券价格涨幅（跌幅）越大。虽然期限越长债券价格涨幅越大，但相对涨幅随着期限延长逐渐下降，如10年期债券比5年期债券多涨了3.69%（8.18%-4.49%），15年期债券比10年期债券多涨了3.02%

18、，20年期债券只比15年期债券多涨了2.48%。同样，市场利率上升时，期限越长债券价格跌幅越大，但这种跌幅随着期限延长逐渐下降。当市场利率下降（上升）1个百分点时，债券价格涨（跌）幅度不对称，涨幅大于跌幅，如1年期债券涨幅是0.97%，跌幅是0.96%，5年期债券涨幅是4.49%，跌幅是4.27%。【例题8-6】设息票率为6%和8%的2种5年期债券，年付息一次，未来市场利率可能为6%、7%、8%和9%。试分别以7%和8%为基期，分析利率升下降1%时债券价格变动规律。解答：计算未来不同利率下债券的价格，以及以7%、8%为基期利率时利率下降或上升1%的债券价格变化如表8-6所示：表8-6 各种可能

19、利率下的债券价格及其变动幅度 债券息票率未来各种可能利率下债券价格7%为基期的影响8%为基期的影响6%7%8%9%下降1%上升1%下降1%上升1%6%10095.992.0288.334.28%-4.05%4.22%-4.01%8%108.43104.10100.0096.114.16%-3.94%4.10%-3.89%从表8-6可以看出：当市场利率下降（上升）1%时，息票率为6%的债券的价格涨幅（跌幅），比息票率为8%的债券的价格涨幅（跌幅）要大。因此，随着利率下降（上升），息票率较低债券的上升（下降）幅度大于息票率较高的债券。以7%和8%作为基期进行比较，当市场利率由7%下降（上升）1%时

20、，债券价格涨幅（跌幅），大于市场利率由8%下降（上升）1%时债券价格的涨幅（跌幅）。这说明，债券价格受市场利率变动的影响，与初始市场利率高低有关，即低利率时期债券价格变动幅度大于高利率时期。8.2.2 利率变动影响债券价格的六大定理由【例题8-5】和【例题8-6】所得结论，可以得到下面六个著名的债券价格变动定理。除定理二由霍默和利博维茨提出外，其余五个定理都由马尔基尔提出。定理一：债券价格与市场利率变动成反比。定理一说明，市场利率越低，债券价格越高，反之则债券价格越低。可以用图8-2更明确地表达上述关系。r1 r2 图8-2 债券价格和市场利率的关系市场利率债券价格 根据定理一，在预期市场利率

21、下降时可买进债券，在预期市场利率上升时应卖出债券。根据经济周期变化，在经济萧条时期，为刺激经济复苏，利率有下降的趋势。如2007年爆发的金融危机引起全球经济下滑，致使许多国家降低利率，就导致债券市场不断走牛。又如2015年前后全球利率不断走低，又导致债券市场持续上涨，甚至出现国债收益率为负的罕见情况。而当经济好转、物价趋于上涨时，市场利率可能上升，就不是投资债券的好时机。定理二：债券价格受利率变动的影响大小，与当期市场利率的高低成反比。定理二说明，在低利率时期，市场利率的变动会对债券价格变动造成更大影响。这表现在图8-2上，在低利率r1附近的债券价格曲线，较高利率r2附近的债券价格曲线，其陡峭

22、程度要高许多。定理二可以视为对定理一的补充，其要求投资人在低利率时期更须重视利率变动风险。如在2016年全球利率普遍较低甚至负利率的情形下，未来利率一旦变动，则债券价格必将大幅度波动，这或许是债王格罗斯认为“债券是一个迟早会爆炸的超新星”的原因。定理三：长期债券的价格受市场利率变动的影响大于短期债券。定理三说明，在其他条件相同时，当市场利率上升（或下降）1%，到期期限较长债券（也称长债）的价格下降（或上升）幅度大于短期债券（也称短债）。定理三也是对定理一的重要补充。定理一告诉我们，在市场利率下降时应买入债券。定理三提供了下一步行动的方向：买入到期期限长的债券。定理四：债券价格受市场利率变动影响

23、的程度随到期期限的延长而递减。定理四说明，虽然到期期限越长，债券价格对市场利率变动的敏感性越强，但敏感性增加的相对程度却递减。定理四是对定理三的重要补充，即市场利率下降时并不是买入期限越长的债券越好，因为期限越长增加的收益越小，而承担的投资风险越大，所以应该在收益和风险之间进行权衡。定理五：债息率越低的债券受市场利率变动的影响越大。定理五说明，在其他条件相同时，当市场利率变化1%，低票面利率债券价格的波动，比高票面利率债券价格的波动更大。定理五是对定理四的重要补充。当市场利率出现下降趋势时，首先应该选定一些适合自身风险承受能力的长期债券，然后在选定长期债券中再选择票面利率较低者买入。定理六：市

24、场利率下降使债券价格上涨的幅度，大于市场利率上升使债券价格下降的幅度。图8-2显示，当市场利率上升时，曲线越来越平缓，即债券价格下降幅度越来越小。而当市场利率下降时，曲线越来越陡峭，即债券价格上升幅度越来越大。定理六仍然是对定理一的进一步解释，其说明市场利率变化对债券价格涨跌的影响呈非对称性。在全面理解债券价格六大定理的基础上，当预期市场利率下降时，投资人以定理一为分析起点，依据债券价格六大定理的内在逻辑关系（见图8-3），可做出合理的投资决策。判断错误但损失相对较小（定理六）买入债息率低的长债（定理五）长债收益和风险的权衡（定理四）买入长期债券（定理三）价格将剧烈变动还是相对温和变动（定理二

25、）利率下降应买入债券（定理一）图8-3 预期利率下降时债券投资六大定理的内在联系8.3 债券到期收益率与利率期限结构 折现率是计算债券合理价格的关键，但统一公认的折现率并不易获得，这影响了债券合理价格的客观性。取而代之，是否投资某债券的判断标准是，以市场价格购买债券所获到期收益率是否有吸引力。事实上，到期收益率已经成为债券投资最重要的收益率形式，对到期收益率、到期收益率分布等展开研究已成为投资学的重要内容。8.3.1 债券到期收益率债券到期收益率的计算，是债券定价的逆过程，即在债券价格、债券未来现金流已知的情况下，计算债券的投资收益率。具体来说，债券到期收益率（yield to maturit

26、y,YTM）是投资者购买债券并持有到期时，未来各期利息收入、到期偿还的债券面值的现值之和等于债券购买价格的折现率，或者债券所有现金流（包括购买价格）的净现值净现值指债券在未来所产生的现金流入的现值和现在购买债券所产生的现金流出（用负数表示）之和。 等于零的折现率。若每年计息一次，债券市场价格为P，则到期收益率r*计算公式为： （8-13）或： （8-14） 【例题8-7】假设年付息一次，息票率为8%，面值为1000元的4年期债券，成交价格为990元。问：（1）持有到期时该债券的到期收益率是多少？（2）如果期间再投资收益率分别为6%、8.30%和10%，则投资该债券实际年收益率依次是多少？解答：

27、（1）根据公式(8-13)可得：利用excel计算到期收益率的方法是：设现金流入为正，流出为负，将债券投资按时间先后发生的全部现金流表示为（-990，80，80，80，1080），将其复制到A1-A5；插入财务函数IRR(即内部收益率到期收益率可用内部收益率公式计算，虽然两者并不完全一样。 )，输入数据A1：A5，可得r*8.30%，故到期收益率为8.30%。（2）当再投资收益率为6%时，全部现金流（80，80，80，1080）在第四年末终值和为：实际年收益率为：当再投资收益率为8.30%时，全部现金流在第四年末终值和为：实际年收益率为：当再投资收益率为10%时，全部现金流在第四年末终值和为：

28、实际年收益率为： 【例题8-7】表明，在投资人持有到期、再投资收益率等于到期收益率时，到期收益率就是实际收益率。实际上，应用到期收益率时通常以下面三个假设为前提：投资者持有债券直至到期；发行人完全按照事先承诺给付现金流；各期利息收入要在债券剩余期限内再投资，且再投资收益率等于到期收益率。在上述假设下，到期收益率成为是否应对一只债券进行投资的重要判定标准：当到期收益率（实际收益率）高于市场利率或必要收益率时，投资该债券可行；否则不可行。而从理论上看，在套利机制作用下，到期收益率将趋近甚至等于相应的市场利率，故到期收益率、市场利率经常交替使用。【例题8-8】假设10年期面值1000元国债的票面利率

29、为2%，其市场价格为1202元，问：投资人持有债券的到期收益率是多少？解答：根据到期收益率计算公式有： 解得=-0.018%。国债收益率为负数，这种情形出现在2016年的日本和欧洲一些国【例题8-9】广州市2016年5月住房均价为每平米1.75万中国指数研究院，百城价格指数。，77平米一套住房的总价为135万元。假设周边住房租赁价格为3200元/月。问：（1）付全款购买该套住房是否明智？（2）如果首付35万，余款100万采取年息5%、月还款5368元的30年按揭贷款，这是否明智？解答：（1）在付全款条件下，先假设：住房使用年限为70年；70年后住房价值为零中国理财网2009年3月27日中国住宅

30、使用寿命仅50年 多数房熬不到续期时。；购买住房后不再卖出，不考虑房价涨跌；房租视为购买住房后可获得的收益。上述投资类似如下债券投资：债券价格为1350000元，月利息为3200元，债券期限为840个月，到期时债券价值为0。将有关参数代入公式（8-13）可得：求解得，换算成年到期收益率约为2.28%。这高于同期银行存款利率1.5%，但低于50年期国债收益率3.63%，显然不是一项好的投资。（2） 按揭时现金流为：首付款350000元；一个月后每月还款5368元，一共30年即360个月；一个月后每月租金3200元，一共70年即840个月。现金流合并后的现金流为：一个月后每月还款2168元（536

31、8+3200），共有360个月；从第361个月开始，每月租金3200元，一共有480个月。所有现金流净现值等于零的折现率，即： 求解得，换算成年到期收益率约为0.78%，显然不是一项好的投资。8.3.2 利率期限结构投资市场上，不同期限债券的到期收益率不同。我们将某个时点上期限不同但其他条件相同的各种债券（通常是零息国债）的到期收益率之间的关系，称为利率期限结构（term structure of interest rate）。利率期限结构等价的几何图形曲线，被称为收益率曲线(yield curve)。收益率曲线通常有向上倾斜、驼峰型和向下倾斜三种情形（见图8-4）：向上倾斜的收益率曲线，是收

32、益率曲线最常见的形式，被称为“正向”利率曲线，表示期限越长债券的到期收益率越高。向下倾斜的收益率曲线，被称为“反向”利率曲线，表示期限越长债券的到期收益率越低。驼峰型收益率曲线，表示期限相对较短的债券，利率与期限呈正向关系；期限相对较长的债券，利率与期限呈反向关系。 图图8-4 收益率曲线期限（年）向下倾斜的收益率曲线收益率（%）向上倾斜的收益率曲线驼峰型收益率曲线理论界对收益率曲线形状变化有预期假说、流动性偏好假说和市场分割理论三种解释：预期假说认为，市场对未来利率变化的预测是准确的，当出现向上倾斜的收益率曲线时，意味着投资者预期未来利率将会上升，而当出现向下倾斜的收益率曲线时，意味着投资者

33、预期未来利率将会下降。流动性偏好假说认为，投资人都宁愿拥有流动性，偏好短期投资，这使收益率曲线通常向上倾斜。向上倾斜的收益率曲线并不意味未来利率一定上升，未来利率是否上升依赖于收益率曲线的陡峭程度。但若收益率曲线向下倾斜，则表明未来利率将会下降。市场分割理论认为，长期债券市场和短期债券市场是分割的，资金在两个市场之间的流动并非通畅无阻，各个市场的供求状况决定了其均衡状况，因而出现向上倾斜的收益率曲线、向下倾斜的收益率曲线，或者是其他类型的收益率曲线都有可能。【例题8-10】假设目前面值100元的1年期、2年期和3年期零息国债的价格分别为95.2元、89元和81.6元。问：市场预期未来三年的利率

34、是多少？解答：（1）计算三种债券的到期收益率。 可得到期收益率分别为5%、6%和7%，这显示目前的利率曲线是正向的。（2）计算第二年市场预期利率。用100000元投资两年有两种选择：一种是购买2年期零息债券；另一种是买1年期零息债券，到期后再买收益率为r2的1年期零息债券。在市场均衡时，两种选择的收益率相等，即：解得r27.01%，即市场预期第二年的利率为7.01%。（3）计算第三年市场预期利率。用100000元投资三年，可以直接购买3年期零息债券，或者先投资2年期零息债券，到第三年时购买收益率为r3的1年期零息债券。在市场均衡时，两种选择的收益率相等，即：解得r39.03%，即市场预期第三年

35、的利率为9.03%。综上所述，在到期收益率分别为5%、6%和7%的情形下，市场预期未来三年利率分别为5%、7.01%和9.03%，即市场利率呈现上升趋势。8.4 久期债券价格六大定理研究了利率变动对不同期限、不同息票率和不同到期收益率债券价格的影响。但六大定理假设三个影响因素中有两个不变，使其不能很好地应用于现实投资。我们需要能够从期限、息票率、到期收益率等方面综合衡量利率变动对债券价格影响的量化分析工具，这就是久期。8.4.1 久期的涵义如同一般投资，债券投资也须考虑投资回收期。设某债券面值是100元，期限为5年，息票率为10%，年付息一次，则该债券未来5年的现金流为（10，10，10，10

36、，110）。再设债券折现率为10%，则未来5年现金流现值为（9.09，8.26，7.51，6.83，68.30），每年收回债券投资成本100元的资金比例是（0.091，0.083，0.075，0.068，0.68），收回债券投资成本的加权平均时间是：0.0911+0.0832+0.0753+0.0684+0.6854.17年投资界将收回债券投资成本的加权平均时间称为久期（duration）。债券久期（年）是每次支付现金流的加权平均时间，权重是每次支付现金流的现值占债券总价值的比重。设债券未来各期现金流为CFt，折现率为r，到期期限为T，债券价格为P，则久期的计算公式为： （8-14）久期公式中

37、各权重之和为： 这实际上是假设，市场是有效的，债券价格等于债券价值，到期收益率等于市场利率。如果债券现金流到达时间间隔不是年，需要将其转化为年。如债券现金流间隔时间是半年，要将计算结果除以2，间隔时间是三个月的要将结果除以4。由公式（8-14）可以看出，债券久期与债券期限、票面利率、到期收益率等因素有关。具体关系可以用下面三个例题展示。【例题8-11】设面值为100元、期限为5年的两只债券，债券甲息票率为10%，债券乙息票率为12%，年付息一次，目前到期收益率都是10%，试分别计算债券甲和债券乙的久期。解答：可以通过表8-7分别计算债券甲和债券乙的久期：表8-7 债券久期的计算时间现金流现值现

38、值时间债券甲债券乙债券甲债券乙债券甲债券乙110129.09110.90929.09110.9092210128.2649.916816.52819.8336310127.5139.015622.53927.0468410126.838.19627.3232.784511011268.29969.5408341.495347.704合计100100是债券各期现金流现值之和，是债券的合理价格（市场价格）。同样，107.58也是债券乙的市场价格。 107.58416.973438.2776久期约4.17年约4.07年债券乙的久期4.07（438.2776/107.58）年较债券甲的4.17（416

39、.973/100）年要短。【例题8-12】设有期限为5、10和15年的债券甲、债券乙和债券丙，面值均为100元，息票率均为10%，到期收益率都是10%根据利率期限结构理论，三只债券到期收益率应有差异，这里主要是为方便分析而做的假定。 ，试分别计算三只债券的久期。解答：用表8-8分别计算债券甲、债券乙、债券丙的久期：表8-8 债券久期的计算时间现金流现值现值时间甲乙丙甲乙丙甲乙丙11010109.0919.0919.0919.0919.0919.09121010108.2648.2648.26416.52816.52816.52831010107.5137.5137.51322.53922.53

40、922.53941010106.836.836.8327.3227.3227.325110101068.2996.2096.209341.49531.04531.045610105.6455.64533.8733.87710105.1325.13235.92435.924810104.6654.66537.3237.32910104.2414.24138.16938.169101101042.4053.855424.0538.5511103.50538.55512103.18638.23213102.89737.66114102.63336.8621511026.334395.01合计1001

41、00100416.973675.853836.673久期4.17年6.76年8.37年由计算可知，债券期限越长则久期越大，但久期增加的幅度逐渐降低，即10年期债券久期较5年期债券久期增加了2.59年，15年期债券久期较10年期债券久期增加了1.61年。【例题8-13】设有年付息一次，面值是100元，期限是5年的两只债券，债券甲和债券乙的息票率分别为10%和12%，目前到期收益率都是12%，试计算两者的久期。解答：可以通过表8-9的步骤分别计算债券甲和债券乙的久期：表8-9 债券久期的计算时间现金流现值现值时间债券甲债券乙债券甲债券乙债券甲债券乙110128.92910.71488.92910.

42、7148210127.9729.566415.94419.1328310127.1188.541621.35425.6248410126.3557.62625.4230.504511011262.41463.5488312.07317.744合计92.788100383.717403.7204久期约4.14年约4.04年经计算得债券甲和债券乙的久期分别为4.14年和4.04年。对比【例题8-11】和【例题8-13】，两者差异是初始到期收益率（市场利率）不同。因此，高利率时期债券久期较小，低利率时期债券久期较大。综上所述，债券久期与债券期限、票面利率和到期收益率三个因素有如下关系：债券期限越长久

43、期越大，但随着期限的不断增加，久期增加的幅度会递减；久期与债券息票率成反比例变化。息票率越高，代表每期固定支付的利息越多，投资人回收成本的速度越快，久期越短；久期与初始到期收益率（市场利率）高低成反比例变化。初始到期收益率越高，各期收回的现金流会用较高的折现率进行贴现，现金流获得的权数越小，从而久期就越短。8.4.2 久期的数学推导久期的经济意义是什么常令人困惑，需从数学上进行探讨。根据公式，对利率r求导数可得：又根据债券估值公式，对其求导可得： 将上式用微分表示，然后两边同时除以价格P，并整理可得： 由此得到： （8-15）当市场利率由r发生微小变动时，由于对不同债券都相同，故不同债券价格变

44、动幅度（dP/P）主要受其久期D大小的影响，即久期综合反映了债券利率风险的大小。8.4.3 久期的应用久期在债券投资中有着十分广泛的用途，其中最重要的是回避利率变动风险，以及在利率微小变动时对债券价格的变化进行近似计算。1.回避利率风险投资债券的利率风险有价格风险和再投资风险：当利率上升时，债券价格下降，再投资收益率上升；当利率下降时，债券价格上升，再投资收益率下降。由于市场利率变化导致的价格风险和再投资风险影响相反，投资人当然希望这两个风险相互抵消，以获得稳定的投资收益。能够将价格风险和再投资风险刚好抵消的时间就是债券的久期。【例题8-14】现有5年期和6年期两种债券，其到期收益率都是8%。

45、息票率都是8%。某投资人拟将100万元投资在一只债券上，5年后获得留学需要资金146.93万元。如果市场利率此后不发生变化，两只债券都能达到投资人要求。但若利率在第三年下降或上升50个基点一个基点是0.01%，或1%的百分之一。 ，则应该买入哪只债券？解答：若在第3年市场利率下跌50个基点降到7.5%，则投资5年期债券到期时的现金流，包括利息再投资、收回本金等，共计为： 投资6年期债券到第5年末的现金流，包括利息再投资、第5年末出售债券的价格等，共计为： 由上分析可知：投资人买入5年期债券届时资金缺口约为0.41万元（146.52-146.93），而买入6年期债券有0.05万元（146.98-

46、146.93）的资金剩余。如果在第3年市场利率上升50个基点到8.5%，则投资5年期债券到期时的现金流，包括利息再投资、收回本金等，共计为： 投资6年期债券到第5年末的现金流，包括利息再投资、第5年末出售债券的价格等，共计为： 由上分析可知：买入5年期债券有0.42万元（147.35-146.93）的资金剩余，而买入6年期债券的资金缺口为0.04万元（146.89-146.93）。综上所述，6年期债券能够较好应对市场利率波动的影响，完成或基本完成投资目标，投资人应买入6年期债券。其原因是该6年期债券的久期是4.99年，几乎和投资人投资年限相等。这种久期和投资人投资年限一致从而规避利率风险的投资

47、方法，被称为免疫。免疫方法还可以用于债券组合。我们用【例题8-15】来说明其具体应用。【例题8-15】某投资人5年后需要100万元留学费用，其目前有现金68.06万元。现有甲、乙、丙三只债券，其面值均为100元，年付息一次，票面利率、剩余期限、当前价格如表8-10所示： 表8-10 债券甲、乙、丙的基本情况债券票面利率（%）剩余期限（年）当前价格（元）甲84100乙76101丙88100为实施免疫策略，问：该投资人应该选择哪两只债券构建组合？两只债券的投资比例是多少？若市场利率下降2个百分点，该组合免疫效果如何？解答：目前资金68.06万元，5年后增值为100万元，故构建组合的年收益率至少应为

48、：。计算甲、乙、丙三只债券的到期收益率分别为8%、6.79%和8%。债券乙的收益率低于8%，故投资人应以债券甲和债券丙构建免疫组合。组合久期应该等于投资期限5年，其是各个债券久期的加权平均，权数是投资在各个债券上的资金比率。可计算债券甲和债券丙的久期分别为3.5771年和6.2064年。设投资在债券甲上的资金比例为，投资在债券丙上的资金比率为1-，则有： 投资在债券甲的资金比率为0.46，相应地投资在债券丙的资金比率为0.54。债券甲在第4年末到期，其总的现金流为： 再投资1年得到的现金流为： 134.99693（1+6%）143.09675元债券甲的年实际收益率为：债券丙第5年末的全部现金流

49、，包括利息再投资、第5年末出售债券的收入，共计为： 债券丙的年实际收益率为：故组合年收益率为：0.467.43%+0.548.48%8.00%，其免疫效果较好。2.债券价格变动的近似计算在市场利率变动幅度较小时，我们可以假定：由此可得： （8-16） （8-17）式中：被称为修正的久期。根据公式（8-16）和（8-17），可以对利率微小变动时债券价格的绝对变动和相对变动进行近似计算。【例题8-16】设市场利率由8%上升10个基点到8.1%时，现有债券甲和债券乙两只年付息一次的债券，其息票率为12%和8%，期限为15和10年。问：哪只债券变动幅度更大？解答：可以用债券价格公式和久期两种方法分析。

50、直接计算债券价格。假设两只债券的面值都是100元，根据公式（8-8），当市场利率为8%时，债券甲和债券乙的价格应为：当市场利率为8.1%时，债券甲和债券乙的价格应为：因此，债券甲和债券乙的价格跌幅分别为： 比较可知，债券甲的价格跌幅较债券乙要大，即债券甲承受的利率风险更大。用久期分析。经计算可得，债券甲和债券乙的久期大约为8.57年和7.24年。利用公式（8-17），当市场利率由8%上升到8.1%时，债券甲和债券乙的跌幅分别为：同样得到债券甲较债券乙的价格跌幅要大的结论。【例题8-17】有期限为30年、息票率为10%、半年付息一次面值为100元的债券，试计算当到期收益率由10%上升50个基点即上升为10.5%时的债券价格。解答：直接计算债券价格。根据公式（8-9），到期收益率为10