专题训练蚂蚁爬行的最短路径(含答案解析)

1、蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10 回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）2=114粒第6题2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线AB= 3（2

2、006茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm4解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=44如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（ ）AAPB BAQB CARB DASB解：根据两点之间线段最短可知选A故选A5如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB= 故选C6 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点

3、M所在的面，BC的中点为M，所以MC= BC=1，在直角三角形中AM= = 7如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。解：将盒子展开，如图所示：AB=CD=DF+FC= EF+ GF=20+20=20cm故选C第7题8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1= 9如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下

4、底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.52.5秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：52=2.5秒10（2009恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= =2511. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱

5、长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，ABC1是直角三角形，AC1=12如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得，路径一：AB= = ；路径二：AB= =5；路径三：AB= = ； 5，5米为最短路径13如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程解：（1）AB的长就为最短路线然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的

6、路程为 （cm）；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm），或 （cm）所以蚂蚁经过的最短路程是 cm（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm14如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？ 解：图1中， cm图2中， cm图3中， cm采用图3的爬法路程最短，为 cm15如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方

7、形的长和宽分别是12cm和6cm，则所走的最短线段是 =6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，所以走的最短线段是 = cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，所以走的最短线段是 =2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cmA和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（

8、2+3）3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，由勾股定理得：x2=202+（2+3）32=252，解得x=25故答案为2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为AC=33+13=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm

9、18（2011荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 13cm解：PA=2（4+2）=12，QA=5PQ=13故答案为：1319如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程 解：在RtABD中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172所以AB=17cm故蚂蚁

10、爬行的最短路径为17cm20（2009佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C1和AC1（2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是 （3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是 （4分）l1l2，故最短路径的长是 （5分）

11、（3）作B1EAC1于E，则 为所求（8分）21有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .第2题解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离C，D分别是BE，AF的中点AF=25=10AD=5AC= 16cm故答案为：16cm22有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 . 第3题解：AB=m23如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 13 解：因为圆柱底面圆的周长为2=12，高为5，所以将侧面展开为一长为

12、12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为 =13故蚂蚁爬行的最短距离为1324如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是 解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则AD=24=12cm又因为CD=AB=9cm，所以AC= =15cm故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm故答案为：1525（2006荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体

13、侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm（结果用带和根号的式子表示）解：QA=3，PB1=2，即可把PQ放到一个直角边是4和5的直角三角形中，根据勾股定理得：QP= 26同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图 问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图 解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图 如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示

14、，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图 第5题27如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 .解：圆锥的底面周长是4，则4= ，n=180即圆锥侧面展开图的圆心角是180，在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，BAP=90，在圆锥侧面展开图中BP= ，这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm故答案是： cm28如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，COB=150，D为VB上一点，VD= 现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D则

15、蚂蚁爬行的最短路程是（）解： = = ，设弧BC所对的圆心角的度数为n， = 解得n=90，CVD=90，CD= =4 ，29已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且AOA1=120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A则蚂蚁爬行的最短路程长为 。解：连接AA，作OCAA于C，圆锥的母线长为5cm，AOA1=120，AA=2AC=530 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .第4题解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后

16、扇形的弧长得，解得n=90，所以展开图中圆心角为90，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：31（2006南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径=2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2=，解得n=90，所以展开图中的圆心角为90，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为32（2009乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 。解：由题意知，底面圆的直径

17、AB=4，故底面周长等于4设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4= ，解得n=120，所以展开图中APD=1202=60，根据勾股定理求得AD= ，所以蚂蚁爬行的最短距离为33如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为AA（线段） 由此知：OA=OA=3r， 的长为2r2r= ，n=120，即AOA=120，OAC=30OC=OA=AC=AA=2AC=r，即蚂蚁运动的最短路程是r34

18、如图，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究（1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60（如图），请问：蚂蚁如何行走最合算？（3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法解：（1）210=n40180n=90，AM= =20 （2）锥角为60，底面半径的长和母线的长相等，但缺少母线的长（3）因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件（1）展成平面图形（2）知道母线的长，知道扇形