必修五1.1.1正弦定理(一).ppt

1、【课标要求】 1了解正弦定理的推导过程 2掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题 【核心扫描】 1利用正弦定理进行边角转化解决三角形问题(重点) 2已知两边和其中一边的对角判断三角形解的情况(难点),1.1.1 正弦定理,1.1正弦定理和余弦定理,学习目标 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题,第一课时,1.1.1正弦定理,一、新课引入,A,B,C,b,c,三角形中的边角关系,1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:,大边对大角，小边对小角,a,一般地，把三角形的三个角 A,B,C和它们的对边

2、a,b,c叫做 三角形的元素,小强师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如下图所示的部分，测量出A=47, C=80, AC长为1m,想修好这个模型，但他不知道AB和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？,A,B,a,b,c,C,一、新课引入,创设情境,A,B,C,如图，现要在河岸两侧A，B两点间建一座 桥，需要知道A，B间的距离由于环境因素不 能直接测量A，B间的距离你有办法间接测量 A，B两点间的距离吗？,若已知桥与一侧河岸成75角，在这侧河岸上 取一点C，测得C60，AC100m如何求出 A，B两点间的距离？,75,60,100,ABC中，已知A75， C60，AC100，求AB,a

3、,b,c,试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？,（1）锐角三角形：,（2）直角三角形：,二、新课讲解,作CD垂直于AB于D，则可得,作AE垂直于BC于E， 则,试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？,二、新课讲解,（3）钝角三角形：（C为钝角）,C,A,B,a,b,c,作CD垂直于AB于D，则可得,作BE垂直于AC的延长线于E，则,正弦定理:,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,（1）从结构看：,（2）从方程的观点看：,三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。,各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美。,即:,二、新课讲解,B,C,A,a,b,c,应用正

4、弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角,剖析定理、加深理解,1、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,2、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,三、例题讲解,例1 在ABC中，已知b20cm，A45，B30，解此三角形.,解:根据三角形的内角和定理：,C=180-(A+B)=105,由正弦定理可得,由正弦定理可得,应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角,1.在ABC中，已

5、知c=10，A=45o，C=30o，则a=_； 2.在ABC中，已知a=8，B=60o，C=75o，则b=_； 3.在ABC中，C=2B，则 （ ） A. B. C. D.,B,四、练习,4.已知ABC，AD为角A的平分线，求证：,b,b,D,A,B,4.已知ABC，AD为角A的平分线，求证：,证明：在ABD和CAD中， 由正弦定理，得,两式相除得,四、练习,C,角平分线定理,例 2、,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,已知a=16， b= ， A=30,解三角形.,当120时,三、例题讲解,题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,例3.

6、在ABC中，A=60， ，解此三角形,三、例题讲解,解:由正弦定理可得,由ba，A=60o,可知BA,C=180-(A+B)=90,题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下： （1）先利用 求出sinB，从而求出角B； （2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)； （3）再利用 求出边c.,三、例题讲解,题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,注意：求角B时应注意检验！,总结：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边对角”时三角形解的情况，下面以已知a、b、A，解三角形为例加以说

7、明.,例4 在ABC中,A=45， ,这样的三角形有_个,三、例题讲解,1.画PAQ=45,2. 在AP上取AC=b=4,3.以C为圆心,a=6为半径画弧,弧与AQ的交点为B,C b,B,2个,1个,0个,1个,0个,1,已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况,ab 一解,bsinAab 两解,bsinA=a 一解,bsinAa 无解,(一)当A为锐角,(二)当A为钝角,ab 一解,ab 无解,三、例题讲解,(三)当A为直角,若已知三角形的两条边及其中一边的对角（若已知a、b、A的值），则可用正弦定理求解，且解的情况如下,A为钝角或直角,A为锐角,ab,ab,absinA,a=bsi

8、nA,bsinAab,一解,无解,无解,一解,两解,ab,一解,2.在ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是( ) Ab=20, A=45, C=80 Ba=30, c=28, B=60 Ca=14, b=16, A=45 Da=12, c=15, A=120,四、练习,判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤(适合填空或选择题)： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.,C,1.在ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c， 则下列关系一定成立的是 ( ) AabsinA B.a=bsinA C.absinA DabsinA,D,五、小结,1.正弦定理:,2.应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角,注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两边,题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,注意有两解、一解、无解三种情况（求角B时应检验！）,其中，R是ABC的外接圆的半径,3