全国初中数学竞赛试题及答案

1、2013 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为A，B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）a 2b+ 3c 0ab+bc+ ca）1设非零实数 a， b， c，满足则22 2 的值为（2a 3b+ 4c0a +b +c1（ B） 0（ C）1（D ）1（ A ） 222已知 a， b， c 是实常数，关于x 的一元二次方程212ax +bx+c=0 有两个非零实根x ， x ，则下列关于 x的一元二次方程中，以1 ，1 为两个实根的是（）x2x21

2、2（ A ） c2x2+( b2 2ac)x+a2=0（ B） c2x2 (b2 2ac)x+a2=0（ C） c2x2 +(b2 2ac)xa2 =0（ D） c2x2 (b2 2ac)x a2=03如图， 在 Rt ABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点， CD AB，垂足为 D，DE OC，垂足为 E，若 AD ，DB ， CD 的长度都是有理数，则线段OD， OE， DE ， AC 的长度中，不一定是有理数的为（）（ A ） OD（ B） OE（ C） DE（ D）AC4如图，已知 ABC 的面积为24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上， 且 BC=4CF

3、，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（ A ） 3（ B） 4（ C） 6（D ）83x3y+3 x2y2+xy3+455对于任意实数x，y， z，定义运算“ * ”为： xy =( x+1) 3+(y+1) 360，且 x y z=（xy） z ，则 2013 2012 32 的值为（）607（ B） 1821（ C） 5463（D ）16389（ A） 967967967967二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6设 a= 3 3 ，b 是 a2 的小数部分，则(b+2) 3 的值为 _ 7如图，点D ，E 分别是 ABC 的边 AC，AB 上的点，直线BD

4、 与 CE 交于点 F，已知 CDF ， BFE ， BCF 的面积分别为 3， 4，5，则四边形 AEFD 的面积是 _ 8已知正整数a， b， c 满足 a+b2 2c 2=0， 3a2 8b+c=0 ，则 abc 的最大值为 _ 9实数 a， b，c， d 满足：一元二次方程x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程x2 +ax+b=0 的两根为c， d，则所有满足条件的数组（a， b， c， d）为 _ 10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了

5、 _支圆珠笔AACDEEEDADOBBCFBC（第 3 题 )（第 4 题 )（第 7题 )三、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11如图，抛物线2 ，顶点为，该抛物线与x 轴交于，两点，与y轴交于点C，且y=ax +bx3EAB1OB=OC=3OA，直线 y=3x2+1 与 y 轴交于点 D ，求 DBC CBE yDxAOBCE第 1 页 共 5 页12设 ABC 的外心，垂心分别为O，H，若 B， C，H ，O 共圆，对于所有的ABC，求 BAC 所有可14如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为 m 的“魔术数” （例能的度数如，把 86

6、 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1， a2， an，满足对任意一个正整数m，在 a1， a2，an 中都至少有一个为m 的魔术数13设 a，b， c 是素数，记x=b+c a， y=c+a b，z=a+b c，当 z2=y，xy=2 时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论第 2 页 共 5 页2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】 A【解答】由已知得abc(2 a3b4c)(a2b3c)0 ，故 (abc) 20 于是ab bc ca1 (

7、a2b2c2 ) ，所以 abbcca1 2a2b2c222【答案】 B【解答】由于ax2bx c 0是关于x 的一元二次方程， 则a 0因为x1b，c ，x2x1 x2aa2222013 2012 L43m3m33 3m29m2745，3m33m23m164960于是 2013 2012L329 23932392229 23455463 1033360967二、填空题6【答案】 9【解答】 由于 1a2a23 ，故 ba22392 ，因此 (b2) 3( 3 9) 39 2047【答案】13且 x1x20，所以 c11(x1 x2 )2x1x2b 2ac1 1a，0 ，且x22x12 x22

8、c2，c2x12x12 x22于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 以 1， 1为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是x12x22x2b22ac xa20 ，即 c2 x2( b22ac) xa20 c2c3【答案】 D【解答】 因 AD， DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA OBOC ADBD 是有理数于是， OD OA AD 是有理数2由 Rt DOE RtCOD ，知 OEOD 2DC DO， DEOC都是有（第 3 题）OC【解答】 如图，连接AF，则有：S AEF4 = S AEFS BFEBFS BCFS AFDS AFDFDS CDFS AF

9、D3S AFDS CDFCFS BCFS AEFS AEFFES BEF108， S AFD96解得 S AEF1313所以，四边形 AEFD 的面积是 204 138【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c2 0， 3a28b c5，35，4（第 7 题答题）0 消去 c，并整理得（第 3 题答题）22a 66 由 a 为正整数及 6a 2a 66，可得 1 a 3b 86a理数，而 AC AD AB 不一定是有理数4【答案】 C【解答】 因为 DCFE 是平行四边形，所以DE /CF ，且 EF/DC 连接 CE ，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 S DEB = S DEC，

10、因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF ，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE = S ACF因为 BC4CF ，所以 SABC = 4S ACF故阴影部分的面积为65【答案】 C【解答】 设 2013 2012 L4m，则若 a1 ，则 b259 ，无正整数解；8若 a2，则 b240 ，无正整数解；8若 a3，则 b29 ，于是可解得 b11， b5 8（ i）若 b11，则 c61 ，从而可得 abc311612013；（ ii）若 b5 ，则 c13 ，从而可得 abc35 13195 综上知 abc 的最大值为2013（第 4 题）9 【答案】 (1， 2，1

11、，2) ， (t，0，t，0) （ t 为任意实数）（第 4 题答题）第 3 页 共 5 页ab，cab，【解答】 由韦达定理得dcd，acdb由上式，可知 bacd 若 bd0 ，则 ad1， cb1，进而 bda c 2 bd若 bd0 ，则 ca ，有(a，bcd ) (t，0t，0) （ t 为任意实数） 经检验，数组 (1，2，1， 2)与 (t，0， t，0)（ t 为任意实数）满足条件10【答案】 2074x7 y 2013，【解答】 设 x， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则y 350，x所以 x2013 7 y(5032 y)y144，于是 y1 是整数又2013

12、4( xy)3y4 3503y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x141 三、解答题11y ax2bx 3，顶点为Ex 轴交于A如图，抛物线，该抛物线与，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OB OC 3OA直线 y1 x1与 y 轴交3于点 DBC 3 2 ， CE 2 ， BE 2 5 因为 BC 2 CE2 BE2，所以， BCE 为直角三角形，BCE 90因此 tanCBE = CE =1 又 tan DBO= OD1，则 DBOCBE CB3OB3所以，DBCCBEDBCDBOOBC45 12设 ABC 的外心，垂心分别为 O，H ，若 B， C， H，O 共

13、圆，对于所有的 ABC ，求 BAC 所有可能的度数【解答】 分三种情况讨论（ i）若 ABC 为锐角三角形因为BHC180A，BOC2 A ，所以由BHCBOC ，可得 180A2A ，于是A60 （第 12 题答题（ i）（第 12 题答题（ ii ）（ ii）若 ABC 为钝角三角形当 A90 时，因为BHC180A， BOC2 180A ，所以由BHCBOC180，可得 3180A180 ，于是 A 120 。求 DBCCBE【解答】 将分别代入12当A90 时，不妨假设B90 ，因为BHCA， BOC2 A ，x0yx 1， yaxbx3 知， D (0，所以由BHCBOC180，可

14、得 3 A180 ，于是 A 601) ，C(0， 3 )，3（ iii）若 ABC 为直角三角形所以 B(3， 0)， A(1， 0)直线 y1 x1过点 B（第 11 题）当A90时，因为 O 为边 BC 的中点， B，C，H， O 不可能共圆，3所以A 不可能等于 90 ；将点 C(0，3)的坐标代入 y a( x1)( x3) ，得 a1当A90 时，不妨假设B90 ，此时点 B 与 H 重合，于是总有 B，C，H，O 共圆，因此 A可以是满足0A90 的所有角抛物线 yx22x 3 的顶点为 E (1， 4 )于是由勾股定理得综上可得，A 所有可能取到的度数为所有锐角及120第 4页

15、 共 5 页（第 11 题答题）13设 a ， b ， c 是素数，记xbca， ycab， zabc，当 z2y,xy2时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】 不能1z)， b1( xz)，c1y) 依题意，得 a( y2( x22因为 y z2 ，所以 a1 ( yz)1 ( z2z)z( z1)222又由于 z为整数， a 为素数，所以z2 或3， a3 当 z2 时， yz24， x(y2)216 进而， b9 ， c10 ，与 b ， c 是素数矛盾；当 z3 时， abc0，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三边长14如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为 m 的“魔术数”（例如，把86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数）求正整数n的最小值， 使得存在互不相同的正整数a1， a2， ， an ，满足对任意一个正整数m，在 a1， a2， ， an中都至少有一个为m 的魔术数【解答】 若 n 6，取 m1， 2， 7，根据抽屉原理知，必有a1， a2， ， an 中的一个正整数 M 是 i，j (1 i j 7 ) 的公共的魔术数，即7|(10Mi )，7|(10Mj )则有 7|( ji )，但0