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文档简介
1、.清华大学大学几何与代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2 分,共 10 分)1311. 若 05x0 ,则_。122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解,则应满足。x1x2x303已知矩阵 a,b, c(cij ) s n ,满足 accb ,则 a 与 b 分别是阶矩阵。a11a124矩阵 aa21a22的行向量组线性。a31a325 n 阶方阵 a 满足 a23a e0 ,则 a 1。二、判断正误(正确的在括号内填“”,错误的在括号内填“”。每小题 2 分,共 10 分)1.若行列式 d 中每个元素都大于零,则d 0 。()2.零向量一定可以表示
2、成任意一组向量的线性组合。()3.向量组 a1, a2, , am 中,如果 a1 与 am 对应的分量成比例,则向量组a1, a2, , as 线性相关。()01004.1000,则 a 1a 。(a001)000105.若 为可逆矩阵 a 的特征值,则 a1 的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共 10 分 )1.设 a 为 n 阶矩阵,且a2 ,则 a at()。 2n2 n 1 2n 1 42.n 维向量组1,2, ,s (3sn )线性无关的充要条件是()。 1, 2, , s 中任意两个向量都线性无关 1, 2, ,
3、 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1, 2, , s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示. 1, 2, , s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ( )。 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 任意 n 个 n 1 维向量线性无关 任意 n 1个 n 维向量线性相关 任意 n 1个 n 维向量线性无关4. 设 a , b 均为 n阶方阵,下面结论正确的是 ( )。若 a , b 均可逆,则 ab 可逆 若 a, b 均可逆,则a b 可逆若 a b 可逆,则ab 可逆 若 ab 可逆,则a , b 均可逆5. 若1,2,3,4 是线性方程组 a0 的基础解系,则 1 234 是
4、 a0 的()解向量 基础解系 通解 a 的行向量四、计算题(每小题 9 分,共 63 分 )xabcd1. 计算行列式axbcd。abx cdabcx d3012. 设 aba 2b ,且 a 110, 求 b 。014110021343. 设 b0110,c0213且矩阵满足关系式 x (c b)e, 求 。0011002100010002a11224. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111,2a , 3。2121a22x1x2x335.为何值时,线性方程组x1x2x32有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多x1x2x32解时求其通解。.12136. 设 14, 29, 30
5、1011,4. 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向370317量用该极大无关组线性表示。1007.设 a010 ,求 a 的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分 )若a是n阶方阵,且aai,证明a i 0。其中i为单位矩阵。a1,.试题答案一、填空题1. 52.13.ss, nn4.相关5. a 3e二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c
6、 d )bx cd( x a b c d )0x(x a b c d ) x1001bcx d000x2.211522( a 2e)b a( a 2e) 1221, b ( a 2e) 1 a4321112233.123410000123,b )2100c b012(c3210000014321c b 1000100012 100 , x e c b 12 1001210121001210121.4.a1122a1, a2,a31a11 ( 2a 1)2 (2a2) 当 a1或 a1 时,向量组 a1, a2, a3 线性相212821a22关。5. 当1且2 时,方程组有唯一解;当2时方程组无解211当1时,有无穷多组解,通解为0c11c200016.121312131213( a1, a2, a3, a4 )4901001420142113703410001616031703170013131002010200110000则 ra1, a2, a3, a43 ,其中 a1, a2, a3 构成极大无关组, a4
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