高中数学人教A浙江一轮参考课件61数列的概念与简单表示法

1、6.1数列的概念与简单表示法,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.数列的概念 (1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项. (2)数列的分类:,-4-,知识梳理,双击自测,(3)数列的通项公式:如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式. (4)数列的前n项和:在数列an中,Sn=a1+a2+an叫做数列an的前n项和. (5)数列的表示方法有:列表法、图象法、公式法.,-5-,知识梳理,双击自测,2.数列的递推

2、公式 如果已知数列an的首项(或前几项),且任一项an与它的 前一项an-1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列an的递推公式. 3.数列的函数特征:数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n)当自变量按照由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 4.数列an的an与Sn的关系: 若数列an的前n项和为Sn,-6-,知识梳理,双击自测,1.已知数列an为2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列an的通项公式的是(),B,-7-,知识梳理,双击自测,2.若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列an的

3、前n项和数值最大时,n的值为() A.6B.7C.8D.9,B,解析:an+1-an=-3, 数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列, an=19+(n-1)(-3)=22-3n. a7=22-21=10,a8=22-24=-20, n=7时,数列an的前n项和最大.,-8-,知识梳理,双击自测,3.已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式为 an=. 4.前5项分别为 的数列的一个通项公式是 . 5.已知数列an满足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n2),则该数列前2 014项的和S2 014等于.,解析:当n=1时,a1=S1=-1; 当n2时,a

4、n=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-1,a1不适合此等式.,1 343,解析:由a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n2),得a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,则数列an是以3为周期的周期数列,且a1+a2+a3=2.又2 014=6713+1,所以S2 014=6712+1=1 343.,-9-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.数列是按一定顺序排列的一列数,因此,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函

5、数关系式.根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一. 3.数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列. 4.已知Sn求an,要对n=1和n2两种情况进行讨论.,-10-,考点一,考点二,考点三,考点四,由数列的前几项求数列的通项(考点难度) 例1(1)下列公式可作为数列an:1,2,1,2,1,2,的通项公式的是(),C,-11-,考点一,考点二,考点三,考点四,-12-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征、相邻项的变化特征、拆项后的各部分特征、符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多

6、角度观察、归纳、联想.,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)在如下的数表中,第i行第j列的数记为ai,j,且满足a1,j=2j-1,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,jN*),则此数表中第2行第8列的数是.记第3行的数3,5,8,13,22,39,为数列bn,则数列bn的通项公式是. 第1行1248 第2行2359 第3行35813 ,129,bn=2n-1+n+1,解析:由已知得, 所以 2 , 8 =a1,7+ 2 , 7 =a1,7+a1,7+1=226+1=129. 观察数列3,5,8,13,22,39,可以看出每一项可表示为 1+1+1,

7、2+2+1,4+3+1,8+4+1,16+5+1,32+6+1, 所以归纳出bn的通项公式为bn=2n-1+n+1.,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,由an与Sn的关系求通项an(考点难度) 例2(1)已知下面数列an的前n项和Sn,求数列an的通项公式: Sn=2n2-3n;Sn=3n+b.,解:当n=1时,a1=S1=2-3=-1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5, 由于a1也适合此等式,故an=4n-5. 当n=1时,a1=S1=3+b;

8、 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 当b=-1时,a1适合此等式; 当b-1时,a1不适合此等式. 故当b=-1时,an=23n-1;,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4, an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.,1,121,解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3. 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2), 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2). 又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的

9、等比数列.,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结an与其前n项和Sn的关系是 当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n2时的通项an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知数列an的前n项和Sn=5n-3,则数列an的通项 公式为an= . (2)(2015浙江五校联考改编)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-n.数列an的通项公式是.,2n-1,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (1)数列的前n项和Sn=5n-3, 当n=1时,a1=S1=5-3=

10、2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=45n-1. 此式中令n=1,得a1=4,a1不适合an=45n-1(n2).,(2)Sn=2an-n,当n=1时,S1=a1=2a1-1,即a1=1. 又Sn+1=2an+1-n-1,与Sn=2an-n两边分别相减, 得an+1=2an+1-2an-1,得an+1+1=2(an+1).又a1+1=2, 数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列, an+1=2n,即an=2n-1.,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,由递推关系式求数列的通项公式(考点难度) 考情分析高考对递推公式的考查难度适中,一般不会出现关于三

11、项的关系式,也不会要求直接由递推公式求出通项公式,一般是通过变换转化成特殊的数列求解.常见的命题角度有:(1)形如an+1=anf(n),求an;(2)形如an+1=an+f(n),求an;(3)形如an+1=Aan+B(A0,且A1),求an.,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型一形如an+1=anf(n),求an 例3在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型二形如an+1=an+f(n),求an 例4在数列an中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列an的通项公式.,-24-

12、,考点一,考点二,考点三,考点四,类型三形如an+1=Aan+B(A0,且A1),求an 例5已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式.,解:an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1). 数列an+1为等比数列,且公比q=3. 又a1+1=2,an+1=23n-1. an=23n-1-1.,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:(1)求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;(2)将已知递推关系式整理、变

13、形,变成等差、等比数列. 2.若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式. 3.形如an+1=pan+q的递推关系式,一般是通过构造公比为p的等比数列an+x,即将原递推关系式化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,先求出数列an+x的通项公式,再求an的通项公式,其中求变量x是关键.,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,数列的通项性质(考点难度) 例7(1)(2016陕西西安模

14、拟)已知数列an的通项公式为an=n2-2n(nN*),则“1”是“数列an为递增数列”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,A,C,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.要证明数列an是单调的,可利用“an是递增数列anan+1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法. 2.数列an的周期性可以通过求前几项发现其周期.,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(2015浙江温州质检)已知数列an的

15、通项公式为an=(n+2) ,则当an取得最大值时,n等于.,5或6,-33-,思想方法用函数的观点解决数列问题 数列是一种特殊的函数,在函数的观点下指导数列学习,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最小值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.,-34-,典例已知数列an. (1)若an=n2-5n+4, 数列an中有多少项是负数? n为何值时,an取最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4,且对于nN*,都有an+1an,求实数k的取