数学北师大版八年级下册利用完全平方公式因式分解.ppt

1、4.3 公 式 法,1. 多项式的分解因式的概念： 把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式分解因式. 2. 公因式的含义、提公因式法分解因式； 3. 分解因式与整式乘法是互逆的恒等变形;,几个整式的积,回顾 & 思考,(a+b)(a-b)= . (ab)2= .,4.整式的乘法公式有哪些?,(1)平方差公式 (2)完全平方公式,回顾 & 思考,（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？ （2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.,多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式： x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2 把乘法公式(

2、a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有： x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).,(整式乘法),(分解因式),下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？,(1) 9x2-4y2 (2) 16x2-y2 (3) -16x2+y2 (4) 16x2+y2 (5) -y2-x2,可以 可以 可以 不可以 不可以,解：9x2-4y2,=(3x)2-(2y)2,=(3x+2y) (3x- 2y),例：分解因式： 9x2-4y2,例1 把下列各式分解因式：,（1）25-16x2,解：25-16

3、x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).,（2）,解：,2,2,例：分解因式：(m+n)2-9,解：(m+n)2 -9,例2 把下列各式分解因式：,（1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x,解：（1）9(m+n)2-(m-n)2 =3(m+n)2-(m-n)2 =3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n) =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n),注意：每个因式要分解到不能再分解为止.,例2 把下列各式分解因式：,解：（2）2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(

4、x-2),注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式.,例2 把下列各式分解因式：,(1) x+y=(x+y)(x+y)( ) (2) x-y=(x+y)(x-y)( ) (3) -x+y=(-x+y)(-x-y)( ) (4) -x -y =-(x+y)(x-y)( ),1. 判断正误,(1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2 (3) x2-(a+b-c)2 (4) -16x4+81y4,2. 把下列各式分解因式：,答案： (1) (ab+m)(ab-m)(2) 4x(y+z) (3) (x+a+b-c)(x-a-b+c) (4)

5、(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-3x),把乘法公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到,a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2,形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.,由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.,判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式.,(1) a2+4a+4 (2) x2+4x+4y2 (3) x2-6x-9 (4) a2-ab+b2 (5) (a+b

6、)2+2(a+b) +1,!,是 不是 不是 不是 是,完全平方式的特征：两个数（或式子）的平方和，加上或减去这两数（或式子）积的2倍.,例：分解因式：a2+4a+4,解： a2+4a+4,=a2+2a2+22,= (a + 2)2,a2+2ab+b2,= (a + b)2,例3 把下列完全平方式分解因式：,(1)x2+14x+49；(2) (m+n)2-6(m+n)+9.,解：(1) x2+14x+49 =x2+27x+72 =(x+7)2；,(2) (m+n)2-6(m+n)+9 = (m+n)2-2 (m+n) 3+32 =(m+n)-32 =(m+n-3)2,例4 把下列完全平方式分解因式：,(1) 3ax2+6axy+3ay2； (2) x24y2+4xy.,解：(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；,(2) x24y2+4xy = (x2+4y2-4xy) = (x2-4xy+4y2) = x2-2x2y+(2y)2 = -(x-2y)2.,在进行分解因式时应注意的问题：,1.首先考虑多项式各项有没有公因式，如果有，先提公因式法，再考虑用公式法；2.公式中的字母可以代表数，也可以代表一个式子；分解因式时可以把式子看作一个整体