万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

1、.第五讲万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律1. 开普勒行星运动定律（ 1） 第一定律（轨道定律） ：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（ 2） 第二定律（面积定律） ：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。（ 3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：a3。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。2kT（ 4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，a3k，但 k 值不同， k 与行星有关，与卫星无关。T 2（ 5）中

2、学阶段对天体运动的处理办法：把椭圆近似为园，太阳在圆心；认为v 与不变，行星或卫星做匀速圆周运动； R3k， R轨道半径。T 22. 万有引力定律（ 1） 内容：万有引力F 与 m1m2 成正比，与r2 成反比。（ 2） 公式： F G m1m2， G 叫万有引力常量， G 6.67 10 11 Nm2 / kg 2 。r 2（ 3） 适用条件：严格条件为两个质点；两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。（ 4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，

3、一个是重力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力f，如图所示。在赤道上， F=F向+mg，即 mg GMmm2R ；R2Mmmg ；故纬度越大，重力加速度越大。在两极 F=mg，即 GR2由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，MmGM ；在地球表面高度为h 处：G R2mggR 2Mmmghg hGM，所以 ghR22 g，随高度的增加，重力加速度减小。Gh)2( R h)2(R h)(R考点二、万有引力定律的应用求天体质量及密度1 T 、 r 法： G Mmr 22 g、 R 法： G MmR23 v、 r 法： G

4、Mm r 2mr (2)2M4 2 r 3 ，再根据V4R3 ,M3 r 3 ，当 r=R 时，3TGT 23VGT 2 R3GT 2mgMR2 g ，再根据 V4R3 ,M3 gG3V4 GRv 2Mrv 2mGr.4 v、 T 法： G Mmm v 2 ,G Mmmr ( 2 ) 2Mv3Tr 2rr 2T2 G考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则MmGM 。GmggR2R2注意： R 指星球半径。2、 距星球表面某高度处的重力加速度：MmGM ，或R2。G ( R h) 2mghg h( R h) 2g h( R

5、h)2 g注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度GM ，即向心加速度与重力加速度相等。a nh) 2(R考点四、天体或卫星的运动参数我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，Mmv 2242，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：G r 2manmrmrmr (T 2 )1、 线速度： G Mmm v2GM12、角速度： G MmGM1vmr2r 2rrrr 2r 3r 33 周期：Mm22r 334、向心加速度：G MmmananGMGr 2mr ( T )T 2GMrr 2r 2规律：当r 变大时，“三小”（ v 变小 ,变小

6、,an 变小）“一大”（T 变大）。考点五、地球同步卫星对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。1、 轨道平面一定：与赤道共面。2、 周期一定： T=24h ，与地球自转周期相同。3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。5、 高度一定：由GMmm(R42gR2h3gR2T 2R 3.672 。h), GM410 m 6 R( R h)2T 226、 线速度大小一定：GMmv2gR2vGMgR23.1103。m,GMR hR hm/ s(R h) 2( R h)7、 向心加速度一定：GMmman ,GM gR2an

7、GMgR20.23m/ s2 。(R h)2(R h)2(R h )2考点六、宇宙速度1、 对三种宇宙速度的认识：第一宇宙速度人造卫星近地环绕速度。大小v1=7.9km/s 。第一宇宙速度的算法：法一：由Mm2GM ，r=R+h ，而近地卫星h=0， r=R，则Mmv2GmvvGGM ，代入数据可算r 2rrR 2mvRR得： v1=7.9km/s 。法二：忽略地球自转时， 万有引力近似等于重力，则 mgm v 2vgr ，同理 r=R+h ，而近地卫星 h=0 ，r=R ，rv 2vgR，代入数据可算得：v1 =7.9km/s 。mg mR对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重

8、力加速度时一般与以下运动结合：自由落体运动；竖直上抛运动；平抛运动；单摆（ 2）第二宇宙速度脱离速度。.大小 v2=11.2km/s ，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。（ 3）第三宇宙速度逃逸速度。大小 v3=16.7km/s ，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。2、 环绕（运行）速度与发射速度的区别：三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最大环绕速度，最小发射速度。考点七 卫星变轨问题B人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：一

9、、变轨原理及过程1、为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1 上。12、在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入轨道2。A3、在 B 点（远地点）再次点火进入轨道3。32二、一些物理量的定性分析1、速度：设卫星在园轨道1 和 3 运行时速率为 v1、v3，在 A 点、 B 点速率为 vA 、vB。在 A 点加速，则 vA v1，在 B 点加速，则 v3 vB，又因 v1 v3，故有 vA v1 v3vB。2、加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1 还是轨道2 经过 A 点，卫星的加速度都相同，同

10、理，经过B 点加速度也相同。3、周期：设卫星在1、2、3 轨道上运行周期分别为T1、T2、T 3。轨道半径分别为r1、 r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律r 3k 可知， T1 T2 T 3。T 2三、从能量角度分析变轨问题的方法把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。四、从向心力的角度分析变轨问题的方法当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即Mmv 2时，卫星做匀速圆周运动。GmR2R若速度突然增大时，若速度突然减小时，G Mmm v 2R2RMmv 2G

11、mR2R，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。，万有引力大于向心力，做近心运动，则卫星轨道半径变小。考点八双星问题被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共重心转动的一对恒星。如图所示双星系统具有以下三个特点：1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：Gm1 m2m2 r1， Gm1m2m2 22 r2；211L2L2、两颗星的周期及角速度都相同，即：1212T=T， = ；3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：12r+r =L 。补充一些需要用到的知识：1、卫星的分类：卫星根据轨道平面分类可分为：赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；极地轨道（卫星运

12、行时每圈都经过南北两极） ；任意轨道（与赤道平面的夹角在0o90o之间）。但轨道平面都经过地心。卫星根据离地高度分类可分为：近地卫星 （在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为 h=0 ，r=R）；任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径r=R+h ， R 指地球半径， h 指卫星离地高度，其中同步卫星是一个它的一个特例）。轨道平面都经过地心。.2、人造卫星的机械能：E=EK +EP（机械能为动能和引力势能之和），动能 EK1 mv 2 ，由运行速度决定；2引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r 增大，动能减小，引力势能增大，但EPEK ，所以卫星的机械能随着轨道半径（离地高

13、度）增大而增大。3、人造卫星的两个速度：发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以r 增大，发射速度增大；环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，G Mmm v 2vGM ， r 增R 2RR大时，环绕速度减小。4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值:近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0 ， r=R。运行速度：Mmv 2GM，它是所有卫星的最大运行速度（因为 h=0，无需增大引力GmvgR 7.9km / sR2RR势能，故发射速度等于运行

14、速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；角速度：Mmmr2GM ，r=R，GMG2r 3R3r，r 最小， 它的角速度在所有卫星中最大。（无需记数值）Mmmr(2Tr3，r=R，T 2R3周期： G2)2285 min =5100s，r 最小，它的周期在所有卫星中最小。rTGMGM向心加速度：GMmmananGM ， r=R，anGMg9.8m / s2 ， r 最小，它的向心加速度在所有卫r 2r 2R2星中最大。5、卫星的追击问题：Mmmr (2)2T 2r 3知，同一轨道上的两颗卫星，周期T 相同，后面的不可能追上前面的。卫星由 GTGMr 2绕中心天体的半径越大，T 越大。同一

15、半径方向不同轨道的两颗卫星（设周期分别为T1、T2 ，且 T 1 T2 ）再次相遇的时间满足tt1，或 BA2。TBT A6、万有引力与航天知识要注意模型：把天体都看成质点；把天体的运动在没有特殊说明时都看成匀速圆周运动；常见的匀速圆周运动模型分三种：核星模型（中心天体不动，行星或卫星绕中心天体运动）；双星模型（两颗星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动）；三星模型（三颗星组成稳定的系统，做匀速圆周运动，三颗星一般组成正三角形或在一条直线上）。7、估算问题的思维与解答方法：估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）；运用物理方法或近似计算方法，对物理量的数值或取值范围进行大致的推算

16、；估算题常常要利用一些隐含条件或生活中的常识。如：在地球表面受到的万有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2 ；地球自转周期T=24h ，公转周期T0=365 天；月球绕地球公转周期约为 27 天；近地卫星周期为 85 分钟；日地距离约 1.5 亿千米；月地距离约 38 亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。8、 物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度： 物 体 随 地 球 自 转 的 向 心 加 速 度 由 地 球 对 物 体 的 万 有 引 力 的 一 个 分 力 提 供 ， 计 算 公 式 为 ：a12 R0 ( 2 ) 2 R0 ，式中 T 为地球自转

17、周期，R0 为地表物体到地轴的距离；T卫星环绕地球运行的向心加速度所需的向心力由地球对它的全部万有引力提供，计算公式为：.GMmmanGM ，式中 M 为地球质量， r 为卫星与地心的距离。r2an2r例题讲解【例 1】 甲、乙两 人造地球 星， 量相等，它 的 道都是 ，若甲的运 周期比乙小， （）A 甲距地面的高度比乙小B甲的加速度一定比乙小C甲的加速度一定比乙大D甲的速度一定比乙大【例 2】 A、B 两 行星， 量之比M Ap ，半径之比 RAq ， 两行星表面的重力加速度之比M BRB （）pA.B.qpq2C.pD.pqq 2【例 3】如 1-4-1 所示，在同一 道平面上，有 地球

18、做匀速 周运 的 星A、B、C某 刻在同一条直 上， （）A. 一段 ，它 将同 回到原位置B. 星 C 受到的向心力最小C. 星 B 的周期比 C 小D. 星 A 的角速度最大【例 4】人造 星离地球表面距离等于地球半径R， 星以速度v 沿 道运 ， 地面上的重力加速度 g， （）A.v4gR B.v2gRC.vgRD.vgR 2R，周期是 T，【例 5】地球公 的 道半径是R ，周期是 T，月球 地球运 的 道半径是1122 太阳 量与地球 量之比是（）A.R13T12R13T 22C.R12T22D.R12 T1332 B.3 22 223R2T2R2T1R2 T1R2T2【例 6】 土

19、星外 上有一个 。 了判断它是土星的一部分 是土星的 星群，可以 量 中各 的 速度 a 与 l 到土星中心的距离 R 之 的关系来判断：()A 若 vR， 是土星的一部分；B若 v2 R， 是土星的 星群C若 v R， 是土星的一部分【例 7】火星与地球的 量之比 P，半径之比 q， 火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比 （ ）A.B.C.D.【例 8】地球表面 的重力加速度 g， 在距地面高度等于地球半径 的重力加速度 （）A. gB. g/2C. g/4D. 2g【例 9】人造地球 星 地心 心，做匀速 周运 ，下列 法正确的是 （）A. 半径越大，速度越小，周期越小B. 半径

20、越大，速度越小，周期越大C. 所有 星的速度均相同，与半径无关D. 所有 星的角速度均相同，与半径无关.巩固练习1 关于第一宇宙速度，下列 法不正确的是（）A. 它是人造地球 星 地球 行的最小速度B. 它等于人造地球 星在近地 形 道上的运行速度C. 它是能使 星在近地 道运 的最小 射速度D. 它是 星在 道上运 的近地点速度2、下述 中，可在运行的太空 里 行的是（）A 用 簧秤 物体受的重力B用天平 物体 量C用 力 力D用温度 内温度北3如 所示的三个人造地球 星， 法正确的是（）b 星可能的 道 a、 b、 c 星可能的 道 a、ca同步 星可能的 道 a、 c同步 星可能的 道

21、aA 是 的B 是 的cC是 的D是 的4.同步 星离地心距离 r，运行速率 v1，加速度 a1，地球赤道上物体随地球自 的向心加速度 a2,第一宇宙速度 v2,地球半径 R， （）A. a1/a2=r/RB. a1/a2=R2/r2C. v1/v2=R2/r2D. v1/v2R / r5 关于人造地球 星及其中物体的超重和失重 ，下列 法正确的是 （）在 射 程中向上加速 生超重 象在降落 程中向下减速 生失重 象 入 道 作匀速 周运 ， 生失重 象失重是由于地球 星内物体的作用力减小而引起的A. B.C. D.6、某天体的 量 地球的 9 倍，半径 地球的一半，若从地球上高h 平抛一物体，射程 L， 在 天体上，从同 高 以同 速度平抛同一物体，其射程 ：（）A L/6B L/4C 3L/2D6L7、人造地球 星所受的向心力与 道