同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-2

1、习题7-2 1. 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求(1)ab及ab; (2)(-2a)3b及a2b; (3)a、b夹角的余弦. 解 (1)ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, . (2)(-2a)3b =-6ab = -63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3). 2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求ab+bc+ca . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)=0, 即 aa+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . 3. 已知M1(1, -1, 2)、M2(3, 3,

2、1)和M3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量. 解 , . , , 为所求向量. 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线称动到点M2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m, 重力方向为z轴负方向). 解F=(0, 0, -1009. 8)=(0, 0, -980), . W=FS=(0, 0, -980)(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处, 有一与成角q1的力F1作用着; 在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处, 有一与成角q1的力F1作用着. 问q1、q2、x1、x2、|F1|

3、、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x1|F1|sinq1-x2|F2|sinq2=0, 即 x1|F1|sinq1=x2|F2|sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 . 7. 设a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 问l与m有怎样的关系, 能使得la+mb与z轴垂直? 解 la+mb=(3l+2m, 5l+m, -2l+4m), la+mb与z轴垂la+mb k (3l+2m, 5l+m, -2l+4

4、m)(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m. 当l=2m 时, la+mb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为, 所以, C=90. 9. 设已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 计算: (1)(ab)c-(ac)b; (2)(a+b)(b+c); (3)(ab)c . 解 (1)ab=21+(-3)(-1)+13=8, ac=21+(-3)(-2)=8, (ab)c-(ac)b=8c-8b=8(c-b)=8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, . (3), (ab)c=-81+(-5)(-2)+10=2. 10. 已知, , 求DOAB的面积. 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为 . 因为, , 所以三角形DOAB的面积为 . 12. 试用向量证明不等式: , 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数, 并指出等