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1、1,第 六 章,定 积 分 的 应 用,2,(3) 求和，,(4) 求极限，,相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，,小窄曲边梯形的面积为,则,而第i个,得A的近似值,得A的精确值,回顾：面积表示为定积分的步骤：,3,a,b,面积元素,对以上过程进行简化:,这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”,的面积，,则,取,记为,则,4,表示为,1) 所求量 U 是与区间a , b上有定义的f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义:,一个整体量 ;,一、定积分的元素法,1.什么问题可以用定积分（元素法）解决

2、?,5,元素的几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳等,第一步，根据具体情况，,选取积分变量，,确定x的变化,区间a,b.,第二步，把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的,称为量U的微元.,第三步，写出定积分的表达式：,近似表达式,先作图,2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：,这个方法通常叫做元素法,6,3.使用元素法时应注意：,则U相应地分成许多,即如果把区间,a,b分成许多部分区间，,部分量，,而U等于所有部分量之和.,则U在a,b 上的值可由定积分,示为,(3) 在a,b中任取的小区间,上的部分量,来计算.,7,二、定积分在几何学上的应用,

3、1. 直角坐标系下平面图形面积的计算,（1）设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,(2)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,8,(3),为曲边，,以,以c,d为底的曲边梯形,(4)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,的面积A.,9,总之,时，,时，,设曲线,及 x 轴所围曲,边梯形面积为 A ,则,（5）,10,回顾：极坐标系,1) 极坐标系的定义：,在平面上取定一点o，,叫做极点.,从极点出发引一条射线Ox,叫极轴，,并取定一个长度单位,和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向),这样,就建立了一个平面极坐标系.,2) 极坐标与直角坐标

4、的互化,11,过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程,极坐标与直角坐标的关系:,3) 几个常用曲线的极坐标方程,12,r,y,圆极坐标方程,圆极坐标方程,圆极坐标方程,13,2. 极坐标系下平面图形面积的计算,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,14,3.已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则在小区间,的体积元素为,立体体积为：,上连续,A(x),x,a,V,b,15,曲边梯形,旋转一周围成的旋转体的体积为：,曲边梯形,绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：,

5、4.旋转体的体积,16,a,b,f (x),y,x,0,曲边梯形 y= f (x) ，,x,dx,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,生成的旋转的体积.,求旋转体体积 柱壳法,17,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,dV=,2 x f (x)dx,f (x),曲边梯形 y= f (x) ，,x=a,x=b,y=0,旋转的体积.,求旋转体体积 柱壳法,绕 y 轴生成的,18,围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周 而成的立体的体积.,所以：由连续曲线,直线x=a、 x=b(ab) 及x轴所,类似地，,如果旋转体是由连续曲线,直线,及,轴所围成的曲边梯形绕,轴旋转一周,而成的立体的体积.,19

6、,5. 弧长 (数1、数2),（2）参数方程,（3）极坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,20,6.旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,积分后得旋转体的侧面积,取侧面积元素:,(数1、数2),21,y+dy,y,o,y,x,d,c,o,y,x,X型,Y型,请熟记以下公式：,22,注意：,1) 以上公式都要求,2) 复杂图形应学会分割.,3) 不能用公式时应会元素法.,4)若曲边梯形的曲边为参数方程,则上述公式可以用定积分的换元法处理.,5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程,则可转化为直角坐标系下的参数方程：,6)与弧长有关时，其限应上

7、大下小.,23,解:,典型例题分析,24,解:,25,A,B,解:,依题意有,26,例4. 计算抛物线,与直线,一周而成的旋转体的体积 .,所围图形,解: 如图,绕 x 轴旋转,27,所围图形绕 旋转而成的,旋转体的体积.,分析： 无公式可用，用元素法.如图,例5. 求由 及,解法1：选择 y 作积分变量 ,解法2：选择 x 作积分变量,28,思考：过坐标原点作曲线,轴围成平面图形D.,(1) 求 D 的面积;,(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.,解: (1) 设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,的切线. 该切线与曲线,因此,故切线方程为,D 的面积为

8、,(2003考研),29,(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.,(2) 切线、x 轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥的体积为,曲线、x 轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,因此所求旋转体体积为,得旋转体体积为,30,解:,31,解:,32,解:,33,解:,34,（1）求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,（2） 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,（3） 计算摆线,的一拱的长度.,练习题：,35,说明: 用柱壳法求 较好,柱壳体积,柱面面积,36,证:,设正弦线的弧长等于,设椭圆的弧长等于,故原结论成

9、立.,37,例8.试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积 :,解:,方法1 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,方法2 用柱壳法,38,求侧面积 :,解：如图,39,例10. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,40,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,1.,若选 y 为积分变量, 则,备用题：,41,2. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解： 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,42,回顾： 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,二、定积分在物理上的应用,43,0,1,x,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例1 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的