（全国通用）2019年中考数学复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

1、20142018年全国中考题组 考点一等腰三角形,五年中考,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于() A.15B.30C.45D.60,答案A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是() A.70B.44

2、C.34D.24,答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.,3.(2017天津,9,3分)如图,将ABC绕点B顺时针旋转60得DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是() A.ABD=EB.CBE=C C.ADBCD.AD=BC,答案CABC绕点B顺时针旋转60得到DBE, ABD=CBE=60,AB=BD, ABD是等边三角形,DAB=60, DAB=CBE,ADBC,故选C.,解题关键熟练掌握旋转的性质是解题的关键.,4.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(

3、4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是() A.5B.6C.7D.8,答案A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,5.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.,答案80,解析等腰三角形的两底角相等, 180-502=8

4、0,顶角为80.,6.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=.,在RtDEG中,DG=.,7.(2017湖北黄冈,12,3分)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=.,答案45,解析四边形ABCD是正方形, AB=AD,BAD=9

5、0. 三角形ADE是等边三角形, AD=AE,DAE=AED=60. BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE, AEB=ABE=(180-BAE)2=15, BED=AED-AEB=60-15=45.,8.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2,解析(1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90

6、,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,9.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰三角形ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDAC

7、E, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为() A.2B.3C. D.,考点二直角三角形,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是 ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,AD

8、BC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又 AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D.,思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为() A.B.C.D.,答案A过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90, FC=FG. 易证ACFAGF, AC=AG. 5+6=90,B+6=90, 5=B. 3=1+5

9、,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0),则FG=x,BF=4-x. 又BG=AB-AG=5-3=2, 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=, CE=CF=.选A.,3.(2016四川南充,7,3分)如图,在RtABC中,A=30,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为() A.1B.2C.D.1+,答案A在RtABC中, A=30,BC=1,AB=2. 点D,E分别是BC,AC的中点, DE=AB=2=1.,4.(2018重庆,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点

10、C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到AGE=30,若AE=EG=2 厘米,则ABC的边BC的长为厘米.,答案(6+4),解析过E作EHAG于H. AGE=30,AE=EG=2, EH=,GH=EGcos 30=3, AG=6, GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2, BC=BE+EG+GC=(6+4)厘米.,5.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.,答案3,解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.,6.(2016辽宁沈阳,16,3分)如图,在RtABC

11、中,A=90,AB=AC,BC=20,DE是ABC的中位线.点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若OMN是直角三角形,则DO的长是.,答案或,解析A=90,AB=AC,BC=20, AB=AC=10, DE是ABC的中位线, DEBC,DE=BC=10,BD=CE=5. 当DNBC时,OMN为直角三角形(如图), 易知BDN为等腰直角三角形, BN=DN=5, BM=3, MN=2, DEBC, ODEONM, =,即=,解得OD=.,当DNME时,OMN为直角三角形(如图),过点E作EFBC,垂足为点F. 易知CEF为等腰直角三角形

12、, EF=FC=5, BM=3,MF=20-3-5=12, 在RtMFE中,ME=13, DEBC, DEO=EMF, DOE=EFM=90, ODEFEM,=,即=, 解得OD=. 综上所述,DO的长是或.,7.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD =90,D为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE与BCD中,(3分) AC

13、EBCD.(4分) (2)ACEBCD,AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2, 2CD2=AD2+DB2.(7分),考点一等腰三角形,教师专用题组,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是() A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无论作APB

14、的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为() A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,3.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为

15、等边三角形,则满足上述条件的PMN有() A.1个B.2个C.3个D.3个以上,答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,4.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小为() A.30B.40C.50D.70,答案BAB=AC,B=C.ADBC,1=C=70,B=70,BAC=40.故选B

16、.,5.(2014江苏苏州,10,3分)如图,AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2,),底边OB在x轴上.将 AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点A的对应点A在x轴上,则点O的坐标为() A.B. C.D.,答案C过A作OB边的垂线AC,垂足为C,过O作BA边的垂线OD,垂足为D,因为顶点 A 的坐标为(2,),所以C点坐标为(2,0),所以OC=2,AC=,在RtOAC中,根据勾股定理得OA=3,所 以AB=3.因为AOB为等腰三角形,所以C为OB的中点,所以B点坐标为(4,0),故BO=BO=4.在RtOBD和RtOAD中,OB2-BD2=OA2-AD2.设BD=x,则有4

17、2-x2=32-(3-x)2,解得x=,所以BD=,所 以OD=,又OD=4+=,故O点的坐标为,故选C.,6.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k.若k=,则该等腰三角形的顶角为度.,答案36,解析设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+22x=180 x=36.故顶角为36度.,7.(2017四川绵阳,17,3分)将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA,CB于M,N两点.若CA=5,AB=6,ADAB=13,则MD+的

18、最小值为.,答案2,解析B+BDN+BND=180,BDN+FDE+ADM=180,B=FDE,BND=ADM, 又B=A,BDNAMD, =, DNAM=MDBD. ADAB=13, BD=AB=4, DNAM=4MD. 设MD=x, 则MD+=MD+=x+=()2-2+2=+2, 当=,即x=时,MD+取得最小值,为2.,8.(2014江苏扬州,10,3分)若等腰三角形的两条边长分别为7 cm和14 cm,则它的周长为cm.,答案35,解析等腰三角形的两腰相等,若第三边长为7 cm,则7+7=14 cm,不能构成三角形;若第三边长为14 cm,则7+14=21 cm14 cm,符合三角形三

19、边关系,所以周长为7+14+14=35 cm.,9.(2014山西,16,3分)如图,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线,ACE= BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为.,答案-1,解析在DF上取点G,使DG=DC,连接CG. AB=AC,AD为BC边上的中线, ADBC,CAD=BAD=BAC=15, CDG为等腰直角三角形,DCG=45. ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB=75, FCG=75-15-45=15,BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF, AFECFG(ASA

20、),EF=FG. AB=AC,AD为BC边上的中线, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,10.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为.,答案63或27,解析在三角形ABC中,设AB=AC,BDAC于D. 若三角形是锐角三角形,则A=90-36=54, 此时,底角=(180-54)2=63; 若三角形是钝角三角形,则BAC=36+90=126, 此时,底角=(180-126)2=27. 综上,该等腰三角形底角的度数是63或27.,11.(2017北京,

21、19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36, ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,12.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,13.(201

22、4浙江杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.,解析在AFB和AEC中, AF=AE,A为公共角,AB=AC, 所以AFBAEC, 所以ABF=ACE. 因为AB=AC,所以ABC=ACB, 所以PBC=PCB, 所以PB=PC. 其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.,1.(2017四川绵阳,11,3分)如图,直角ABC中,B=30,点O是ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EFAB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为() A.B.C.D.,考

23、点二直角三角形,答案D在RtABC中,点O是ABC的重心, OC=CE,CE=AE=EB, B=BCE=30,CAE=ECA=60, CAE是等边三角形. EFAB,FEB=90, CEF=30, CF=EF, AF平分CAB, AM垂直平分CE, CM=CE, MO=CE=CM. MF=CMtan 30=CM, =,故选D.,2.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为() A.0.5 kmB.0.6 km C.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1

24、.2 km.故选D.,3.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC 与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为.,答案4或4,解析(1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以A

25、EC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;当点A在直线DE上方时, EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4. 图1,图2 图3,4.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=.,答案12,解析设A

26、H=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,5.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC =60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为.,答案2或2或2,解析由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所以

27、OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如图,ABP=90, 因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2. 在RtABP中,AP=2. 综上所述,AP的长为2或2或2.,6.(2014贵州贵阳,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿AD方向以 cm/s的速度向点D运动.设ABP的面积为S1,矩形PDFE的面 积为S2,运动时间为t秒(0t8),则t=秒时,S1=2S2.,答案6,解析由题意可知RtADC、RtAPE和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8 cm.因

28、为AP=t cm,所以DP=EF=FC=(8-t)cm,DF=t cm,所以S1=APBD=t8 =8t cm2,S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以当S1=2S2时,有8t=-4t2+32t,解得t=6.,7.(2014湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则BD的长为.,答案,解析作ADAD,且使AD=AD,连接CD,DD,如图. 由已知条件可得BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD. 在BAD与CAD中, BADCAD(SAS), BD=CD.又DAD=90,由勾股定理得DD= =4,易知DD

29、A+ADC =90,由勾股定理得CD=, BD=CD=.,8.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2

30、(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM, AFNEFM, NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=M

31、D, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长QH交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解析(1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45, PAB=45-. QHAP, AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ=MB. 证明:

32、连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图. 则MNB为等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ=CP, AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ,QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC,MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN=MB.,10.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析(1)证明:在AB

33、C中,ABC=90,M为AC的中点, BM=AC. N为CD的中点, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=.,11.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样的方法作RtHIC,HC

34、I=90.若AC=a,求CI的长.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB, ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a, RtADC中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),评析本题考查直角三角形的基本性质与运算.,12.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E

35、分别是OA,OB,AB的中点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DEOC,CEOD. 四边形ODEC为平行四边形,OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90, PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ, PCEEDQ.(5分) (2)证明:如图,连接OR. PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,A

36、RC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150, CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形.(9分) 由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE. 又AOED,CED=ACE, PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ为等腰直角三角形. ARBPEQ,ARB=90. 于是在四边形OCRD中, OCR=ODR=90,CRD=ARB=45, MON=135. 此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=,PQ

37、,则=.(14分),A组20162018年模拟基础题组 考点一等腰三角形,三年模拟,1.(2018云南昆明盘龙模拟,4)如图,在ABC中,B=C,AD平分BAC,AB=5,BC=6,则AD= () A.3B.4C.5D.6,答案BB=C,AB=AC,AD平分BAC,ADBC,BD=CD=BC=3,在RtABD 中,AB=5,BD=3,AD=4,故选B.,2.(2016河北石家庄裕华,9)已知等腰三角形的顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是() A.42B.60C.36D.46,答案A如图,在ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高. A=84,且AB=AC, ABC=C=(180-8

38、4)2=48, 在RtBDC中,BDC=90,C=48, DBC=90-48=42. 故选A.,3.(2018湖北襄阳谷城模拟,15)四边形ABCD是正方形,点E是直线AB上的一动点,且AEC是以AC为腰的等腰三角形,则BCE的度数为.,答案67.5或45或22.5,解析当AC=AE时,以A为圆心,AC为半径作圆,交直线AB于点E. 当E在BA的延长线上时,如图1,易知EAC=135, ACE=BEC=22.5, BCE=BCA+ACE=67.5; 图1 当E在AB的延长线上时,如图2,易知EAC=45, ACE=67.5, BCE=ACE-ACB=22.5.,图2,当AC=CE时,以C为圆心

39、AC为半径作圆,交直线AB于点E,如图3, 图3 EAC=CEA=45,CBE=90,BCE=45, 综上,BCE的度数为67.5或45或22.5.,4.(2017黑龙江哈尔滨南岗,19)若一个等腰三角形的两条边的长度之比为32,则这个等腰三角形底角的正切值为.,答案2或,解析如图,作ADBC于点D, 则BD=CD=BC, 若ABBC=32,则 设AB=3x(x0),则BC=2x, BD=x, AD=2x, 则tan B=2; 若BCAB=32,则 设BC=3x(x0),则AB=2x, BD=x,AD=x, 则tan B=. 故答案为2或.,5.(2018海南海口模拟,23)已知ABC是等边三

40、角形,D、E分别是AB、BC边上的两个动点(与点A、B、C不重合),且始终保持BD=CE. (1)当点D、E运动到如图1所示的位置时,连接CD,AE,求证:CD=AE; (2)把图1中的ACE绕着A点顺时针旋转60到ABF的位置(如图2),分别连接DF、EF. 找出图2中所有的等边三角形(ABC除外),并对其中一个给予证明; 试判断四边形CDFE的形状,并说明理由. 图1 图2,解析(1)证明:ABC是等边三角形, BC=CA,B=ECA=60. 又BD=CE,BCDCAE, CD=AE. (2)题图2中有2个等边三角形(ABC除外),分别是BDF,AFE. 现证明BDF为等边三角形. 由题设

41、,知ACEABF, CE=BF,ECA=ABF=60, 又BD=CE,BD=CE=BF, BDF是等边三角形. (提示:证明AF=AE,FAE=60,从而得出AFE是等边三角形.) 四边形CDFE是平行四边形.理由如下: FDB=ABC=60,FDEC. 又FD=FB=EC,四边形CDFE是平行四边形.,6.(2016黑龙江龙东,26)在ABC中,AB=AC,BAC=60,点E为直线AC上一点,点D为直线BC上一点,且DA=DE. 当点D在线段BC上时,如图,易证:BD+AB=AE; 当点D在线段CB的延长线上时,如图、图,猜想线段BD,AB和AE之间有怎样的数量关系,写出你的猜想,并选择一种

42、给予证明.,解析题图中,结论:BD+AE=AB. 证明:作EMAB交BC于M,如图, ABC是等边三角形, ABC=C=BAC=60,AB=BC=AC, CEM=CAB=60,CME=CBA=60, CME是等边三角形, CE=CM=EM,EMC=60,AE=BM, DA=DE,DAE=DEA, BAC+DAB=C+EDM,DAB=EDM, 由EMAB,可知ABD=EMD, 在ABD和DME中,ABDDME, DB=EM=CM,又AE=BM, DB+AE=CM+BM=BC=AB. 题图中,结论:BD-AE=AB. 证明:作EMAB交CB的延长线于M,如图, ABC是等边三角形, ABC=C=B

43、AC=60,AB=BC=AC,CEM=CAB=60,CME=CBA=60, CME是等边三角形, CE=CM=EM,EMC=MEC=60,AE=BM, DA=DE,DAE=DEA, C+ADC=MEC+DEM, ADB=DEM, 由EMAB可知,ABD=EMD, 在ABD和DME中, ABDDME,DB=EM=CM,又AE=BM, DB-AE=CM-BM=BC=AB.,1.(2018云南昭通昭阳模拟,2)若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边的长为() A.13B.13或C.13或15D.15,考点二直角三角形,答案B当斜边长是12时,第三边的长是=;当一直角边长是12时,第三边的长 是

44、=13.故选B.,2.(2016黑龙江龙东,8)如图,在ABC中,ACB=90,BE平分ABC,EDAB于D.如果A=30,AE=6 cm,那么CE等于() A. cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm,答案CEDAB,A=30,AE=2ED, AE=6 cm,ED=3 cm, ACB=90,BE平分ABC, ED=CE=3 cm. 故选C.,3.(2017上海静安,18)一张直角三角形纸片ABC,ACB=90,AB=24,tan B=,将它沿EF折叠,使 直角顶点C与斜边AB的中点D重合,那么折痕EF的长为.,答案13,解析连接CD,交EF于点O, CD是斜边AB上的中线, DC=DB=A

45、B=12,DCB=B, 由题意得,EF是CD的垂直平分线, OEC+OCE=90,CO=OD=6, 又DCB+OCE=90, OEC=DCB=B, tan B=,tanOEC=, 设CF=2x(x0),则CE=3x,由勾股定理得,EF=x,则2x3x=x6,解得x=(舍去x=0), EF=13.故答案为13.,4.(2016吉林长春,12)如图,在RtABC中,ABC=90,按如下步骤作图: 分别以点B、C为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N; 作直线MN,交AC于点D; 连接BD. 若AC=8,则BD的长为.,答案4,解析由题意可得MN是线段BC的垂直平分线, 则ABMN, M

46、N垂直平分BC,D是AC的中点, BD是直角三角形ABC斜边上的中线, BD=AC=4.,5.(2018湖北襄阳保康4月模拟,18) (1)探究发现:如图1,ABC为等边三角形,点D为AB边上的一点,DCE=30,DCF=60且CF=CD. 求EAF的度数; DE与EF相等吗?请说明理由. (2)类比探究:如图2,ABC为等腰直角三角形,ACB=90,点D为AB边上的一点,DCE=45,CF=CD,CFCD,请直接写出: EAF的度数; 线段AE,ED,DB之间的数量关系.,解析(1)ABC是等边三角形, AC=BC,BAC=B=ACB=60, DCF=60,ACB=DCF,ACF=BCD,

47、在ACF和BCD中, ACFBCD(SAS),CAF=B=60, EAF=BAC+CAF=120. DE=EF.理由如下: DCF=60,DCE=30,FCE=60-30=30, DCE=FCE, 在DCE和FCE中, DCEFCE(SAS), DE=EF.,(2)ABC是等腰直角三角形,ACB=90, AC=BC,BAC=B=45, DCF=90,ACB=DCF,ACF=BCD, 在ACF和BCD中, ACFBCD(SAS), CAF=B=45,AF=DB, EAF=BAC+CAF=90. AE2+DB2=DE2.理由如下: DCF=90,DCE=45,FCE=90-45=45, DCE=F

48、CE, 在DCE和FCE中, DCEFCE(SAS),DE=EF,在RtAEF中,AE2+AF2=EF2, 又AF=DB,AE2+DB2=DE2.,B组20162018年模拟提升题组 (时间:40分钟分值:50分) 一、选择题(每小题3分,共6分),1.(2018天津河东一模,11)如图,在底边BC为2,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分 AB,交AB于点D,交BC于点E,则ACE的周长为() A.2+B.2+2C.4D.3,答案BDE垂直平分AB, BE=AE, AE+CE=BC=2, ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2, 故选B.,2.(2016辽宁大连,8)如图

49、,在ABC中,C=90,AC=2,点D在BC上,ADC=2B,AD=,则BC 的长为() A.-1B.+1C.-1D.+1,答案DC=90, DC=1, ADC=B+BAD,ADC=2B, B=BAD, BD=AD=, BC=+1.,3.(2018贵州黔南州一模,19)如图,已知O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为.,二、填空题(每小题3分,共15分),答案(2,4)或(3,4)或(8,4),解析当OD=PD(P在D右边)时, 如图1,过P作PQx轴于Q, 图1 在RtDPQ中,P

50、Q=4,PD=OD=OA=5, 根据勾股定理得DQ=3, 故OQ=OD+DQ=5+3=8,则此时P点坐标为(8,4);,当OD=PD(P在D左边)时,如图2,过P作PQx轴于Q, 图2 在RtDPQ中,PQ=4,PD=OD=5, 根据勾股定理得,QD=3,故OQ=OD-QD=5-3=2,则此时P点坐标为(2,4); 当PO=OD时,如图3,过P作PQx轴于Q,图3 在RtOPQ中,OP=OD=5,PQ=4, 根据勾股定理得,OQ=3,则此时P点坐标为(3,4). 综上,满足题意的P点坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).,4.(2018湖北武汉武昌一模,15)如图,四边形ABDC中,ABC

51、D,AC=BC=DC=4,AD=6,则BD=.,答案2,解析如图,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE. BC=CD,CD=BC=CE=4, BDE=90,BE=8. AC=BC,ABC=BAC, ABCD, ABC=DCB=BAC,BAC+DCA=180, 又DCB+DCE=180,DCE=DCA, 在ECD与ACD中, DCEDCA(SAS), ED=AD=6. 在RtBDE中,BE=8,ED=6, BD=2.,5.(2017湖北武汉,15)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一个动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使BAC=90,取BC的中点P.当点B从点O沿x轴正半

52、轴移动到点M(2,0)时,点P移动的距离为.,答案,解析如图1所示,过P作PDx轴于D,作PEy轴于E,则DPE=90,AEP=BDP=90,连接AP, 图1 ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点, AP=BC=BP,且APBC,即APB=90, APE=BPD, 在AEP和BDP中,AEPBDP(AAS),PE=PD, 点P沿AOM的平分线的方向移动, 如图2所示,当点B与点O重合时,AB=AO=1,OC=, OP=OC=; 图2 如图3所示,当点B与点M重合时,过P作PDx轴于D,作PEy轴于E,连接AP,OP,图3,由AEPBDP,可得AE=BD, 设AE=BD=x(x0),则OE=1+x,OD=2-x, 易知四边形ODPE是正方形, OD=OE,即2-x=1+x, 解得x=, OD=2-=, 在等腰直角三角形OPD中,OP=OD=,当点B从点O沿x轴正半轴移动到点M时,点P移动的距离为-=.,6.(2016辽宁抚顺,16)如图,RtABC