数学建模屋檐水槽模型

1、数学建模课程设计 设计题目： 屋檐水槽问题数学建模 专 业： 数学与应用数学 班级学号： 0909401-13 姓 名： 童源 指导教师： 王扉 成 绩： 2011 年 11 月 18 日屋檐的水槽问题 房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在 。 b a现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立

2、数学模型，论证这个方案的可行性。 b a1 问题的简化水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。2 假设（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；（2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计；（4）落在房顶上的雨没有溅到外面去；（5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等。3 符号说明 有关因素因素类型符号单位降水速度输入变量rms-1时间变量ts房顶的倾斜角输入参数 弧

3、度房顶的长度输入参数dm房顶的宽度输入参数bm水槽的半径输入参数am水槽中水的高度输出变量hm水槽中水的容量变量vm3流入水槽的流速变量q1m3s-1流出水槽的流速变量q0m3s-1排水管的横截面积参数am24 模型的建立根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。 雨表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积 水流 b实际受雨的水平面积，房顶上雨水的流速 流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。根据能量守恒原理 ， ， 水槽中水的体积为 ， h 5模型

4、的求解与分析将表中的数据代入（7）式，用matlab解得 由假设 （1）若。先讨论水槽的深度趋于一个低于0.075m的稳定值，即时。将代入上述模型，得到 h(t)= 899209.148v2当h(t)=0.075时，解得 v= 0.00028802由此得到，当v 0.00028802 m/s时，水溢出。下面，用matlab对这一结论进一步分析。不妨取v=0.0002、0.000288 分别代入方程（*）求其数值解，并作出图形：编写a.m 文件：function hp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1)/sqrt(0.15*h1-h12);f

5、unction hp=b(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);执行matlab程序： t,h1=ode45(a,0,60,0.01); plot(t,h1) t,h2=ode45(b,0,60,0.01);plot(t,h2)我国气象部门规定24 h降水量在200mm以上（约0.000 002m/s）的雨为特大暴雨。对于这种情形，v 0.00028802 m/s 即24 h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。 （2）若为周期函数，不妨设为正弦函数，即： 这表明下

6、雨过程是在60s内发生的一个短促的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.000 01m/s,由方程（*）得到如下微分方程： 运用matlab求数值解：编写shuicao.m 文件：function f=shuicao(t,h)f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);执行matlab程序： t,h=ode45(shuicao,0,60,0.01); plot(t,h)从图中可以看出，h(t)的最大值不会超过0.075m，因此，对于第（2）种情况，水槽的水也不会溢出，这个公司的承诺是能兑现的。6、的改进模型 基于长时间特大暴雨的考虑，可做如下两种改进： (1)增大排水管的横截面积，即增大排水管的直径d。 (2)改变水槽的连接方式，让水槽往屋檐倾斜一定角度，这相当于增加水槽的容水高度。7、参