高考数学理人教大一轮复习讲义课件第十章计数原理10.2

1、10.2排列与组合,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.排列与组合的概念,知识梳理,一定的顺序,2.排列数与组合数,(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_ 的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_ 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.,所有不同,排列,组合,所有不同,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n！,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.

2、() (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.() (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.() (4)(n1)！n！nn！.() (5) () (6) (),考点自测,1.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数 A.24 B.48C.60 D.72,答案,解析,由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5； 分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 种情况， 再将剩下的4个数字排列得到 种情况， 则满足条件的五位数有 72(个).故选D.,2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.

3、120 C.72 D.24,答案,解析,“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为 43224.,3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为 A.8 B.24 C.48 D.120,答案,解析,末位数字排法有 种， 其他位置排法有 种， 共有 48(种).,4.某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答),答案,解析,1560,依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 40391 560(条)留言.,5.某班级

4、要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种.,解析,答案,14,题型分类深度剖析,题型一排列问题,例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法.,(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.,2520,当最左端排甲时，不同的排法共有 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有 种.故不同的排法共有 12096216(种).,216,答案,解析,答案,解析,引申探究 1.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”

5、，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有 5 040(种)排法.,解答,2.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解答,相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法. 根据分步乘法计数原理，共有 288(种)排法.,3.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解答,不相邻问题(插空法)：

6、先安排女生共有 种排法， 男生在4个女生隔成的5个空中安排共有 种排法， 故共有 1 440(种)排法.,4.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？,解答,先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有 5(种)排法；再安排其他人，有 720(种)排法. 所以共有 3 600(种)排法.,排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对

7、相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,思维升华,跟踪训练1由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数. 求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？,解答,(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？,解答,题型二组合问题,例2(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是 A.60 B.63C.65 D.66,解析,答案,因为1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数， 要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有

8、66(种)不同的取法.,(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法.,答案,解析,36,只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有 36(种)不同的选法.,引申探究 1.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？,解答,由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人， 即有 126(种)不同的选法.,2.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？,解答,3.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”

9、改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？,解答,组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,思维升华,跟踪训练2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不

10、同的取法有多少种？,解答,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,从34种可选商品中，选取3种， 某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,解答,(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解答,从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有 2 100(种). 恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.,(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解答,(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解答,题型三排列与组合问题的综合应用,命题点1相邻问题 例3(2017济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起

11、，则不同的坐法种数为 A.33! B.3(3！)3C.(3！)4 D.9!,答案,解析,把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.,命题点2相间问题 例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.,答案,解析,120,先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有 36(种)安排方法； 同理，第三种情况也有36种安排方法， 对于第二种情况

12、，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有 48(种)安排方法. 由分类加法计数原理知共有363648120(种)安排方法.,命题点3特殊元素(位置)问题 例5(2016郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个.,答案,解析,51,排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列. (2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑

13、法有同等作用. (3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数.,思维升华,跟踪训练3(1)(2016山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为,答案,解析,A.150 B.180C.200 D.280,分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1， 则有 90(种)分派方法； 另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3， 则有 60(种)分派方法， 所以不同分派

14、方法种数为9060150，故选A.,(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有 A.150种 B.114种C.100种 D.72种,答案,解析,先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有 25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有254100(种).,典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取

15、法有_种.,排列、组合问题,现场纠错系列14,错解展示,现场纠错,纠错心得,(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件. (2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.,解析先从一等品中取1个，有 种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有 2 736(种)不同取法. 答案2736,返回,解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类： “恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”， 由分类加法计数原理，知有CCCCC1 136(种). 方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CC1

16、136(种). 答案1136,返回,课时作业,1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为 A.48 B.36 C.24 D.12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32,答案,解析,将四个车位捆绑在一起，看成一个元素， 先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有

17、6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法， 故共有4624(种)方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A.34种 B.48种C.96种 D.144种,答案,解析,程序A有 2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有 48(种)， 由分步乘法计数原理，知实验编排共有24896(种)方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.将A，B，C，D，

18、E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有 A.12种 B.20种C.40种 D.60种,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2016长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2017汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有 A

19、.24对 B.30对C.48对 D.60对,答案,解析,正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有 66(对)， 12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60角. 相对两面上的4条对角线组成的 6(对)组合中， 平行有2对，垂直有4对， 所以所有的平行和垂直共有3 18(对). 所以成60角的有 661848(对).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2016北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种.(用数字作答),答案,解析,54

20、,第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有 18(种)； 第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有 36(种). 根据分类加法计数原理可得，共有361854(种).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2017福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答),答案,解析,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，

21、则不同的摆法有_种.,答案,解析,36,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种.,答案,解析,11,把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行， 第一步：排g和d，共有 种排法； 第二步：排两个o.共一种排法， 所以总的排法种数为 12.其中正确的有一种， 所以错误的共有 112111(种).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种.(用数字作答),480,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,12.(2017青岛月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数.,1,2,3