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文档简介

1、1,第七节 方向导数与梯度,一.方向导数：-导数,二.梯度：-向量,两向量的数量积：,预备知识：,若,则,2,第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,3,或,证,则,问题：上面的极限在什么条件下存在？ 若极限存在，其值等于什么？,4,即,或,注：,5,同理:,P10,注：求方向导数的两种方法,6,的方向导数.,解(1):,所以,解(2):,7,的方向导数。,解：法1,与 l 同向的单位向量为:,由于,故,解：法2,8,解：,设,分析：首先要求出外法线的方向。,则,9,10,二. 梯度,方向导数与梯度的关系：,P5,(gradient),11,结论：（梯度与方向导数的关系）,（1）沿梯度方向的方向

2、导数达到最大值；,（2）梯度的模为方向导数的最大值，即,梯度向量的斜率：,12,推广:,对于函数,以下讨论与二元函数相同：,什么情况下取得最大值？,最大值=？,13,解：,最大值为,例4. 设,求,解：,14,的方向导数。,解（1）,解（2）,15,等高线（等值线）与等量面（等值面）：,在xOy面上的投影为一平面曲线L* ，,它在xOy面直角坐标系中的方程为：,16,对应的法线的斜率为：,17,推广：,场的概念：（自学）,18,（2）方向导数：,（1）梯度：,（3）方向导数与梯度的区别与联系,作业:习题8-7 作业纸：,19,第八节 多元函数的极值及其求法,极值,无条件极值,条件极值,定义,极

3、值的必要条件,极值的充分条件,条件极值的定义,求最值的应用问题,拉格朗日乘数法,预备知识：,1.隐函数存在定理； 2.一元可导函数取得极值的必要条件。,20,第八节 多元函数的极值及其求法,一. 多元函数的极值与最大值、最小值,极大值与极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点。,21,2. 极值的判别定理,证,同理 ,22,具有偏导数的函数的极值点一定是驻点。但反之不成立。,注：,23,解,得驻点:,(1).,(2).,解得：,24,注：,25,3. 最大值、最小值,有界闭区域上的连续函数一定能取得最大值和最小值。,实际问题中：,26,解（1）,则,所以,造价,设长、宽、高分别为,P31,27,解得,令,即驻点为,28,二、条件极值 拉格郎日乘数法,无条件极值,29,由（2）式，得：,30,拉格郎日乘数法：,31,例2解（）,下的极值.,构造函数,解得,设,P26,32,推广,构造函数,解方程组,求出极值点,33,距离最短的点.（习题八 16）,解,构造函数,解得点:,及,由题意知,所求点为,设交线上的点为,34,小结：,1多元函数的极值,取得极值的必要条件,取得极值的充

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