高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计教学案 苏教版必修

1、2.3 总体特征数的估计2013年全国青年歌手电视大奖赛决赛中十位评委在第一轮决赛中给某选手打分是：9,9,8,9,10,9,8,10,9,9.问题1：根据初中学过的知识，能计算得分的平均数吗？提示：能(998910981099)9.问题2：想一想，还有其它计算平均分的方法吗？提示：有.(8296102)9.1平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：.2平均数的计算(1)定义法：n个数据a1，a2，an的平均数为：.(2)平均数公式：在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次(f1f2fkn)，则这n个数的平均数为：.若取

2、值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn.2013年9月某军校大一新生军训期间，甲、乙两同学在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779问题1：甲、乙两同学命中环数的平均值是多少？提示：甲8，乙8.问题2：利用甲和乙的大小关系能否判断两同学的射击水平的高低？提示：不能因为甲乙问题3：观察比较上面表格中的两组数据，哪个同学的射击更稳定些？提示：甲各次的命中环数更靠近在命中的平均环数8附近，故甲的射击更稳定些问题4：除观察分析外是否有更准确的方法判断上述问题？提示：有极差、方差、标准差：(1)极差：一组数据的最大值与最

3、小值的差(2)方差与标准差：设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为，则称s2(xi)2为这个样本的方差，其算术平方根s为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差其中，标准差的单位与原始测量单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方(3)方差及标准差的意义：刻画一组数据的稳定程度1众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变这是中位数、众数都不具有的性质2标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小 例1某公司的3

4、3名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数又是什么(精确到元)(3)你认为平均数能否反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法思路点拨先求出平均数，再根据平均数的意义及影响平均数的因素作答精解详析(1)平均数是(5 5005 00023 5003 00052 50032 000201 500)2 091

5、(元)(2)平均数(30 00020 00023 5003 00052 50032 000201 500)3 288(元)(3)在这个问题中，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平一点通1计算平均数时可直接套用公式计算2众数体现了样本数据的最大集中点，中位数是样本数据的“中心”，平均数则描述了数据的平均水平1一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)则甲种树苗高度平均为_；乙种树苗的高度平均为_；甲、乙两种树苗高度平均为_解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：

6、14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为26，乙树苗高度平均为29.8，甲、乙两种树苗高度平均为(234298)28.答案：2629.8282某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1 800510250210150120人数113532(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个

7、较合理的销售定额，并说明理由解：(1)平均数为：320(件)中位数为210件；众数为210件(2)不合理因为15人中有13人的销售额达不到320件，320虽是所给数据的平均数，它却不能反映营销人员的一般水平，销售额定为210件合适一些，因为210既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额. 例2从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？思路点拨计算均值与方差后，作出结论精解详析(1)甲(25414037221419392142

8、)30030(cm)，乙(27164427441640401640)31031(cm)甲乙，即乙种玉米苗长得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 042104.2，s(2272316234022442)103121 288128.8，s0.5，中位数应位于第四个小矩形内(6分)设中位数为x，又第四个小矩形的高为0.03，令0.03(x70)0.2得x76.7，故中位数为76.7.(8分)(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心

9、”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可(10分)故平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02410)95(0.01610)76.2.(12分)一点通利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点(2)中位数左右两边直方图的面积应相等(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和5甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：选手平均数中位数命中9环以上(含9环)次数甲乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：从

10、平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？从平均数和命中9环以上(含9环)的次数相结合看，谁的成绩好些？从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由题图可知甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环以上(含9环)的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环以上(含9环)的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同，甲命中9环以上(含9环)的次数比乙多，所以甲成绩较好从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力6一名射击运动员射击8次所中环数如下：9910.39.810.110

11、.4109.89.7(1)求这8次射击的平均数是多少？标准差是多少？(2)环数落在s与s之间；2s与2s之间的各有几次，所占百分比各是多少？解：(1)10(环)；s2(9.910)2(10.310)2(9.810)2(10.110)2(10.410)2(1010)2(9.810)2(9.710)2(0.010.090.09)0.055(环2)所以s0.235(环)(2)s100.2359.765，s100.23510.235，在这两个数据之间的数有5个，占到62.5%；2s100.23529.53，2s100.235210.47，在这两个数据之间的数有8个，占到100%.1利用直方图求众数、中

12、位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数2在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定 课下能力提升(十三)一、填空题1一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x等于_解析：由于中间数有两个，故22，即x21.答案：212一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是_解析：s24s2答案：4s23.甲、乙两名同学在5次体育

13、测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的有_甲乙8 7 278682 8291 5X甲X乙，甲比乙成绩稳定X甲X乙，乙比甲成绩稳定X甲X乙，甲比乙成绩稳定解析：甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，X甲81，X乙86.8，X甲X乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定答案：4若样本x11，x21，xn1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x12，x22，xn2的平均数为_，方差为_解析：10，故x1x2xn10nn9n，故x1x2xn2n11n，11，s

14、(x1110)2(x2110)2(xn110)2(x19)2(x29)2(xn9)2(x1211)2(x2211)2(xn211)2s.故所求的平均数为11，方差为2.答案：1125某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x、y、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_解析：10，可得xy20，根据方差的计算公式s2(x10)2(y10)212122，可得x2y220(xy)2008，由得|xy|4.答案：4二、解答题170 3 x 8 9180 16.一次选拔运动员的比赛中，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，测得平均身高为177 cm，有一

15、名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x.(1)求x；(2)求方差s2.解：(1)180181170173178179170x1777，即1231x1239，x8.(2)s2(724211223242).7假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间(单位：天)：甲：109101011119111010乙：81014710111081512估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性解：甲(109101011119111010)10.1(天)s(1010.1)2(910.1)2(1010.1)2(1010.1)2(1110.1)2(1110

16、.1)2(910.1)2(1110.1)2(1010.1)2(1010.1)20.49(天2)；乙(81014710111081512)10.5(天)，s(810.5)2(1010.5)2(1410.5)2(710.5)2(1010.5)2(1110.5)2(1010.5)2(810.5)2(1510.5)2(1210.5)26.05(天2)从交货时间的平均数来看，甲供货商的交货时间短一些；从交货时间的方差来看，甲供货商的交货时间较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性8(安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.甲乙7455 3 3 253 3 85 5 4 3 3 3 1 0 060 0 0 1 1 2 2 3 3 58 6 6 2 2 1 1 0 070 0 2 2 2 3 3 6 6 97 5 4 4 281 1 5 5 82 090(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生