课件三：曲面论基本定理.ppt

1、5.曲面论的基本定理,通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面,我们就可以得到它的两个基本形式：,式决定。因为曲率是用来描述曲面的形状的，所,以如果我们知道了曲面的第一第二基本形式后,也,就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问,形式完全确定？说得详细一点,如果给出了u,v的,题：曲面在空间的形状是否由第一第二基本形式,两个二次微分形式,我们能否确定一个,所给出的两个微分形式？,一般说来，这个反问题不可能有解。因为确定一个曲,面需要三个函数x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一第二基,本形式是由这三个函数确定的，也即第一第二基本形式中,的六个函数E(u,v),F(u,v), N

2、(u,v) 有联系。反过来说,如果这六个函数之间没有联系，就不可能确定一个曲面。,y(u,v),z(u,v)。所以这六个函数只有三个是独立的。也就,是说这六个函数之间有三个关系式。这一节的目的就是要,寻找这三个关系式,称为高斯科达齐迈因纳尔迪公式，,并将证明定理：给出两个二次微分形式，如果它们满足,它的第一第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式.,高斯科达齐迈因纳尔迪条件,则存在一个曲面,为了把一些式子表达的更有规律些，本节将,采用以下一些新的记号，以后将同时采用这一套,符号和以前采用的记号。记,5.1 曲面的基本定理和克里斯托菲耳（Christoffer)符号,在曲线论中，曲线的三个基本

3、向量的导向量可以用三,个基本向量来表出,即有伏雷内(Frenet)公式。,它确定了向量,那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢？,表出的系数是什么呢？,这式称为曲面的基本方,程。第一式称为高斯方程，第二是称为魏因加尔吞方程。,叫做第一类克里斯托菲耳符号。而,证明 我们设,（*）,下面我们确定这些式子的系数,将(*)的第一式点乘,两边左乘,得,即,（*）,下面确定（*）中第二式的,I,j=1,2,将(1)(2)带入( *) 即得所证关系式,并且,注：采用过去的记号：,于是得六个系数 如下：,对于正交网来说，F=0,这时,而,在正交网下，F=0 , 可有下面的统一表达式,5.2 曲面的黎曼(

4、Riemann)曲率张量和 高斯-科达齐-迈因纳尔迪 (Gauss-Codazzi -Mainardi)公式,第一类黎曼曲率张量定义为：,一. 黎曼(Riemann)曲率张量,容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式：,注 I, j,k取值为1，2 。后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。,第一类黎曼曲率张量定义为：, m,I,j,k=1,2( ),二. Gauss-Codazzi-Mainardi 公式,命题 （1）高斯公式：,（2）科达齐-迈因纳尔迪公式,证明 对基本方程中的高斯方程求导数得：,再把基本方程带入上式得,类似的：,所以,是线性无关的向量，比较 的系

5、数得：,因为曲面是 类的，所以,比较 的系数得：,命题得证。,推论 第一黎曼曲率张量满足以下恒等式：,说明(1)由推论知， 这16个分量中只有一个 是独立的。事实上,由 ,独立的还有 再由 知，独立的只有 。,(2)科达齐-迈因纳尔迪公式中,j=k是恒等式,而j,k对调方程不变.故可令j=1,k=2,于是再依次令I=1,2即可知该公式中只包含两个独立式,即I=1,j=1,k=2和I=2,j=1,k=2时的两个。,因此，命题中一共包含三个独立关系式，也就是说，,曲面的第一、第二基本形式中的系数 应满足三个关式(即,命题中的三个关系式）。,(4)科达齐-迈因纳尔迪公式用基本量表示是：,（3）由两种

6、黎曼曲率张量的定义，两曲率张量都仅与第一基本形式的系数 及其关于变量的导数有关（因为 仅与第一基本量有关）,所以它们都是曲面的内在量。,正交坐标网（F=0)下:,即,三. 高斯定理,高斯定理 曲面的高斯曲率是内蕴量.(即曲的高斯曲率K被曲面的第一基本形式完全确定).,证明 由高斯公式（中的独立关系式）:,故,因 都是内蕴量，故K是内蕴量。,推论1 两个曲面可以建立等距对应，则对应点的高斯曲率相等。换言之，高斯曲率经等距变换不变。,证明等距对应下，第一基本量不变， 仅 与第一基本量有关，故不变。故 不变.,推论2 曲面可与平面建立等距对应充分必要条件是该曲面为可展曲面。,证明 充分性：即可展曲面

7、中的命题5。,必要性：曲面与平面建立等距对应，则由高斯定理曲,面与平面的高斯曲率相等，都为零。而高斯曲率为零的曲,面为可展曲面。推论得证。,四.高斯曲率的另一计算公式（用第一基本量表示的）,特别对曲面的正交网：F=0,所以,这再一次证明高斯曲率是内蕴量。,5.3 曲面论的基本定理,基本定理：,设,是给定的,两个二次形式，其中 是正定的。若 和 的系数,和 对称且满足高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式，则除了,别为此曲面的第一和第二基本形式。,空间的具体位置外，唯一的存在一个曲面，以 和 分,曲面论的基本定理及其证明解决了以下三个问题：,（1）曲面的形状由第一、第二基本形式唯一确定；,（2）给出某一区域上的六个连续的二元函数,满足高斯,高斯-科