1.3二项式定理（通用）

1、二项式定理,基础知识,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,研究(a+b)n的展开式,1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=？ 2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？(2)展开式各项系数有什么特点？,n次齐次式a降次，b升次,(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,如何求(a+b)n的展开式,(ab)2 ( a b ) ( a b ),a22abb2,(ab)3( ab )( ab )( ab ),a33a2b3a

2、b2b3,共有四项,a3 :,a2b:,同理，ab2 有 个；,b3 有 个；,每个括号都不取b的情况有一种，即 种，,相当于有一个括号中取b的情况有 种，,所以a2b的系数是,所以a3的系数是,共有三项,如何求(a+b)n的展开式,4.一般地，(a+b)n=?,3.,二项式定理,(1)每一项的系数,(k=0,1,2,n)叫做该项的二项式系数,(2),叫做二项展开式的通项，,表示第k+1项,记作Tk+1,(ab)n的二项展开式,共有n+1项,(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式：,1、二项式系数规律,2、指数规律,（1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次

3、数由0升到n.,3、项数规律,二项展开式共有n+1项,4、通项公式,二项式定理规律,二项式定理简单运用,1、区别“二项式系数”与“系数” 2、第k项不是Cnkan-kbk 3、一般解题先研究通项,完成课本31页练习,二项式定理,“杨辉三角形”与二项式系数的性质,引例：从排列组合“定序”问题说起,如图某城市中P，Q两地有整齐的矩形道路网，从Q地到P地共有多少种最近的走法？,Q,P,可以推出Q到每一个节点的步数，如图所示，你发现了什么规律？,杨辉三角形,n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6,伟大的数学家,杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知

4、，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。,治学品质,杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。 辉愈奇，问其题，乃大戴礼书中所载之九宫图：1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。辉趣之，与童共演之，时至正午方毕

5、。 辉感其童向学之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图总称为纵横图，收于数学著作续古摘奇算法中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。,由杨辉三角形研究二项式系数的性质,定义域0,1,2, ,n,当n= 6时,其图象是7个孤立点,问题：观察杨辉三角形，你能发现二项式系数的哪些性质？,二项式系数的性质,1.对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.,图象的对称轴：,在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,二项式系数的性质,2.增

6、减性与最大值：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；,当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。,实质：数列的单调性与数列的最大项问题,二项式系数的性质,3.各二项式系数的和,4.在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,重要方法：赋值法,更多探究,从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发， 向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有何特征？,（第r+1条斜线）,如图，写出斜线上各行数字的和，发现有什么规律？

7、,1，1，2，3，5，8，13，21,著名的斐波那契数列,二项式定理,分类习题研究,二项式定理的逆向使用问题,二项展开式指定项的系数问题, 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；,二项展开式的特定项问题,三项式、多项式问题, 多项式问题的方法:转化为二项式来展开；利用多项式的乘法法则展开；对多项式先变形化简，再展开；利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.,探究,对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何进行抽象？,进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？ (2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？,展开式的系数和问题,展开式的系数和问题,展开式系数最大项的问题,求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项. 设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过解不等式组Ak+1Ak且Ak+1Ak+2求得.,近似计算、整除及余数问题,利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式(除数). 利用