高中数学必修一集合

1、成才之路数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,主讲：符宣丰 电话第一章 集合与函数概念,一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组 成的总体叫做集合(简称为集). 也可以描述为：指定的某些对象的全体成为集合。 通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写a,b,c等 表示对应集合的元素。 指定：说明“某些对象”具有共同的特征或共同属性； 对象：不同集合具有不同内涵，可以是人、物、点或抽象 事物等； 全体：说明集合是个整体概念，在这个整体中各元素间无 先后排列要求，没有一定的顺序关系；,1、集合的含义,第一节 集合的有关概念 知识点总结,确定性：给定

2、的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。例如“全世界的高山”就没有确定性，即不能构成集合；但是“全世界1000米以上的高山”有明确的标准，即具有确定性，所以可以构成集合。,互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。例如集合1，2，3，1里面有2个相同的元素“1”，只取其中一个，即集合应为1,2,3含有3个元素。,无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置。例如1，2，3和3，2，1是两个相同的集合。,2、集合的“三性”,（1）根据集合中元素的个数可以将集合分为空集和非空集

3、。 （2）非空集按集合中元素的个数分为有限集和无限集。当集合中的元素个数有限时即称为有限集，而 当集合中个数无限时即称为无限集。 对于有限集，由于元素的无序性，如1，2，3与2，3，1表示同一个集合，但对于具有一定规律的无限集1，2，3，一般不会写成为2，3，1，,3、集合的分类,判断0与N,N*,Z的关系?,4、常见的数集,集合的表示方法常见有：自然语言法、列举法和描述法，以后还会学到Venn图法,1、自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可，如被3除余数是2的正整数的集合。,5、集合的表示方法,2、列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合

4、的方法。,3、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 （1）具体方法：在 内先写上表示集合这个集合元素的一般符合再划一条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的共同特征； （2）描述法的一般形式xIP(x),其中X是集合中元素的代表形式，I是元素的取值(或变化）范围，P(x)是这个集合中元素所具有的共同特征，可以是一些方程、函数或不等式等。,由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素.,元素与集合的关系有两种:,如果a是集A的元素，记作:,如果a不是集A的元素，记作：,例如，用A表示“ 120以内

5、所有的质数”组成的集合，则有3 A，4 A，等等。,6、元素与集合的关系,例题1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 高个子的同学 (2) 身高超过170cm的同学 (3) 中国的“四大发明” (4) 不超出20的非负数 (5) 的近似值 点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素。,第一节 集合的有关概念 考试题型及要点解析,1、判断元素是否构成集合,解题要点：利用集合的确定性，判断题设是否有明确的“指标”。,2、判断元素是否属于集合,解题要点：明确集合元素的特征，判断题设元素是否满足该特征。特别要注意

6、题设中元素的定义范围。,例题1：设集合 则下列关系中正确的是（ ）,例题2：集合 ，判断下列元素 与集 合之 A 间的关系.,例题3：请选出以下说法正确的选项的是（ ）,3、集合元素的个数及相关问题,解题要点：1、明确集合中元素的组成结构；2、集合中有相同的两个元素，则取其中一个作为该集合的元素即可；,例题1：若集合A=-1，1，B=0，2，则集合,例题2：已知 集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|x A,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为（ ）,A、5个 B、4个 C、3个 D、2个,A、3个 B、6个 C、8个 D、10个,例题3：已知 集合P=3,4,5,Q=4,5,6,7,

7、若定义新集合P*Q=(a,b)|aP,yA,x-yQ,则集合P*Q中元素的个数为（ ）,A、3个 B、4个 C、7个 D、12个,4、集合间的不同表示方法的转换问题,解题要点：明确对应法则、元素构成规律及集合的含义,例题1：用特定的方法表示下列集合： （1）A=(x,y)|x+y=5,x,yN(列举法） （2）B=1/3,2/4,3/5,4/6,5/7(描述法）,例题2：用集合语言表示下列集合： （1）坐标平面，不在第一、三象限的点的集合； （2）所有被3除余1的整数的集合； （3）使 有意义的实数x的集合；,例题3：用列举法表示下列集合： （1）A=x| |x|2,xZ（2）,5、集合中含有

8、参数问题的处理方法,解题要点：根据题设进行分类讨论，特别要注意将解值进行验证， 是否存在两个相同的元素，进而进行舍取。,例题1：,例题2：,例题3：,例题4：,1、子集的三种语言,第二节 集合间的基本关系 知识点总结,2、空集,（1）空集的概念：不含任何元素的集合，记作_. （2）_是任何集合的子集， _是任何非空集合的 真子集. (3)实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或0与空集混为一谈. （4）几种常见的空集情况： A、集合的对应法则为方程，其空集的条件是方程无解的时的条件； B、对应法则为函数的空集条件即为函数无意义的条件； C、不等式的空集条件？,空集,空集,3、子集的性质,(1)

9、任何一个集合是它本身的子集，即可AA；,(2)对于集合A、B、C，如果AB,BC，那么AC(集合包含传递性）,(3)对于集合A、B、C，如果A B,B C，那么A C(集合真包含传递性） (4)空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有A;在解决诸如AB或A B类的问题时，必须优先考虑A=时是否满足题意。,4、集合子集的个数,(1)一个含有n个元素集合的子集有2n,(2)一个含有n个元素集合，其中一个元素出现在子集中的次数为2（n-1）,(3)一个含有n个元素集合的真子集有2n-1个,(4)一个含有n个元素集合的非空子集有2n-1个,(5)空集的子集有只有它本身一个,(6)集合A有n（n

10、 1)个元素,集合C有m（m 1)个元素,满足ABC,这样的集合B有2m-n个,例题1：判断下列两个集合之间的关系： (1) A=2,3,6,B=x| x是12的约数 (2) A=0,1,B=x|x2+y2=1,yN (3) A=x|-10,y0,第二节 集合间的基本关系 考试题型及要点解析,1、判断两个集合之间的关系,解题要点：考察其中一个集合的所有元素是否全都在另一个集合；考察其中一个集合是否为空集；,例题2：下列关系中哪些是正确的_ (1) a,b b,a (2) a,b =b,a (3) 0 (4)00 (5) 0,例题3：设集合P=x|x1,Q=x|x2-x0,则下列结论正确的是（

11、） A、P=Q B、PQ C、P Q D、Q P,例题4：集合M=(x,y)| (x-3)2+(y+2)2=0,N=-2,3,则M与N之间是什么关系_,2、集合子集的确定及个数问题,例题1：写出集合A=1,2,3的所有子集，并求所有子集中元素的和。,解题要点：1、为避免有重有漏，一般先列出空集-含有1元素的集合-逐渐累加元素个数的集合；2、按总结公式计算子集或真子集的个数。,例题2：设集合A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8,若SA且SB，则满足条件的集合S有几个（ ） A、57 B、49 C、8 D、6,例题3：满足集合x|x2+1=0 Ax|x2-1=0的集合A的个数是（ ）

12、 A、1 B、2 C、3 D、4,例题4：已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4,例题5：若规定E=a1,a2,a3,a10的子集ai1,ai2,ain为E的第K个子集，其中 K=2i1-1+2i2-1+2in-1，则 （1）a1,a3是E的第_个子集； （2）E的第211个子集为_,3、关于重新定义集合的子集问题,解题要点：必须理解重新定义的含义，明确新定义集合元素的构成并能列举出。,例题1：设集合P、Q为两个非空实数集合，定义集合R=P+Q=a+b|aP，bQ,若P=0,2,5,Q=1,2,6,

13、则集合R的子集个数（ ） A、29 B、28 C、27 D、26,例题2：新定义集合P、Q之间的运算“ * ”：P*Q=x|x=x1+x2,x1P，x2Q,若P=1,2,3,Q=1,2,则集合P*Q中最大的元素为_,集合P*Q的所有子集个数为_,4、数行结合解集合问题,解题要点：利用函数图像、数轴或Venn图解题，能起到事半功倍的效果，本节主要利用数轴标示出与不等式相关的集合，从而得到集合的运算结果或集合中所含参数的范围；用数轴解题时，特别要注意是实点还是虚点。,例题2：已知集合A=x|x2, B=x|4x+p0,当BA时，求p的取值范围。,例题1：设集合A=x| |x-a|2,xR,若AB时

14、，则a、b必满足（ ） A、|a+b|3 B、|a+b|3 C、|a-b|3 D、|a-b|3,例题3：若不等式|x|1成立时，不等式x-(a+1)x-(a+4)0也成立，求a取值范围.,5、求集合中所含参数的问题,解题要点：利用数形集合的思想、集合元素互异性及子集性质进行解题，特别要注意所求参数是否会让集合为空集。,例题1：已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2,若A=B,求c的值.,例题2：已知集合A=x|x2+ax+1=0,xR,B=1,2,若A B ,求a的取值范围.,例题3：已知集合A=x|-2x3,B=1,2,集合B=x|mx2m-1,若BA ,求m的取值范围.,例

15、题4：已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|mx-2=0,若 BA,求实数m构成的集合.,1、集合的三种运算,第三节 集合间的基本运算 知识点总结,2、集合运算的性质,3、集合运算中元素个数,用card来表示有限集合A中元素的个数，记为card(A)；例如集合A=0,1,2，则card(A)=3 (1)两个集合并集元素个数： card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB) (2)两种变形： card(A)+card(B)=card(AUB)+card(AB) card(AB)=card(A)+card(B)-card(AUB) (3) 三个集合并集元素个数 card

16、(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)- card(AC)- card(BC)+card(ABC),第三节 集合间的基本运算 考试题型及要点解析,1、集合交集的相关问题,解题要点：找出两个集合公共的部分组成集合，即为其交集；对有限集合可用列举法表示出集合进而找出公共的的元素，对于不等式构成的集合，借助数轴找出2个集合在数轴上重叠的部分，特别要注意端点用实点还是虚点。,例题1：已知集合S=xR|x+12,T=-2,-1,0,1,2,则ST=_,例题2：若集合A=x|x2+x0,B=x|0x3,则AB=_,例题3：集合P=xZ|0 x0,M=xZ|x29,

17、则PM=_,例题4：集合P=x|2x+10,M=x| |x-1|2,则PM=_,例题5：集合P=y|y=x-2,M=y|y=x2-1,则PM=_,2、集合并集的相关问题,解题要点：对两个集合的元素进行组合，将相同的元素舍去；对于不等式构成的集合，借助数轴找出各自涉及的部分组成新的范围，特别要注意端点用实点还是虚点。,例题3：集合A=x|-1/2x2,B=x|x21,则AB=_,例题1：集合P=x|x0,M=x| -1x2,则PM=_,例题2：已知集合 M、N为集合U的非空真子集，且M，N不相等， 若N uM=,则MN=( ) A、M B、N C、U D、,例题4：集合A=x|-12x+13,

18、,则AB=_,例题5：集合A=x2,2x-1,-4,B=x-5,1-x,9,若AB=9,则AB=_,3、求集合的补集的相关问题,解题要点：从全集中去掉所有属于该集合的元素，剩下的元素组成的集合即为该集合在全集中的补集。,例题1：设集合U=1,2,3,4，A=1,2,B=2,4,则 U(AB)=_,例题2：设集合A=x|1x4，B=x|x2-2x-30,则 RBA=_,例题3：若集合U=n|n是小于9的正整数，A=nU|n是奇数,B=nU|n是3的倍数,则 U(AB)=_,4、利用补集思想解题,解题要点：对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，可以尝试从问

19、题的反面入手，起到“柳暗花明”的效果。,例题1：若方程x2+x+a=0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围。,例题2：集合A=x|x2-4mx+2m+6=0,xR,B=x| x0,xR，且AB,求m的取值范围。,例题3：若关于x的方程x2+4ax-4a+3=0 ,x2+(a-1)x+a2=0 ,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。,5、集合运算中有关参数的求法,例题1：若集合A=1,3,x,B=1,x2，AB=1,3,x,则满足条件的x有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,例题2：已知集合A=xR| |x+2|3,B=xR| (m-x)(x-2)0，且AB= xR| -1xn,则m=_,n=_.,例题3：设U=0,1,2,3,A=xU|x2+mx=0,若 UA =1,2,则实数m=_.,例题4：集合A=x| -1x7,B=x| k+1x2k-