应用数学-电工向量的计算【大专教材】曹勃 主编ppt课件.ppt

1、宁波职业技术学院数学教研室,电工向量的计算1,vector calculus,知识目标 1、理解电学中向量的表示； 2、掌握电学中向量的表示方法; 3、理解向量的概念 4、掌握向量的运算方法及坐标表示。,能力目标 1、会用向量计算电学中的总电流，总电压等量； 2、会画向量图，并用会坐标表示。,引例1 【总电流的计算】 根据电路图，已知,单位为A，求总电流i,i1,i2,i,如果用三角函数求和比较麻烦，在电工学中， 通常用向量来表示正弦量并进行计算。,定义1 既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、 加速度等.这类量称为向量，或称为矢量.,一、向量的概念,向量的表示方法有：黑斜体小写字母表示如：

2、a, b ,i,、,向量 a 的大小称为该向量的模，记作 | a |;,模为1的向量称为单位向量，模为零的向量称为零向量. 零向量的方向是任意的,一、向量的概念,、,如果两个向量大小相等，方向相同，则称两向量相等， 记为a=b, （即经过平移后能完全重合的向量）.,向量平行：两个非零向量a,b,如果它们的方向相同或 相反，称向量a平行于向量b，记为a/b .,负向量：与向量a大小相等但方向相反的向量称为a 的负向量。,定义,在电学中，大小和方向都随时间变化的电流叫做交流电流，简称交流电流。,初 相 位,正弦交流电的向量表示,在电路基础中，向量的模等于正弦量的有效值时， 叫做有效值向量，用 等表

3、示。,案例2,已知正弦交流电的电流表示,写出正弦量向量,并分别用有效值向量和最大值向量表示，并作出 向量图。,这就是向量加法的平行四边形法则.,以 a 、b 为边的平行四边形的对角线所表示的向量,则由 a 的起点到 b 的终点的向量.,设有两个非零向量 a 、b ，,称为两向量 a 与 b 的和向量，,记为 a + b，,若以向量 a 的终点作为向量 b 的起点，,这是向量加法的三角形法则.,定义,b,a,a,b,a+b,二、向量的运算,这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形.,若向量 b 加向量 c 等于向量 a ，,从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律.,即,a + b = b

4、 + a (a + b ) + c = a + (b + c).,根据向量加法的三角形法则，,则称向量 c 为 a 与 b 之差，,记为 c = a - b .,c = a b,a,b,数与向量的乘积：设 a 是一个非零向量， 是一个非零实数，,则 a 与 的乘积仍是一个向量，,记作 a ，,( 1 ) | a | = | | | a |;,( 2 ) a 的方向,如果 = 0 或 a = 0，,规定 a = 0.,数乘向量满足结合律与分配律，即,(a ) = ( ) a ，, ( a + b ) = a + b ，,( + ) a = a + b ，,其中 ， 是数量.,设 a 是非零向量，

5、,由数乘向量的定义可知，,且与 a 同方向，,所以有,向量 的模等于 1 ，,案例3 【总电流的计算】 根据电路图，已知,单位为A，求总电流i,i1,i2,i,解：,按上述思想，可将电路图中的电流用向量表示为,案例4【电压的向量计算】 根据电路图，已知,单位：V，求总电压u=u1+u2,解：作向量图如图所示.,在OAC中，由余弦定理，得：,由正弦定理，得:,因此，总电压,三、向量的坐标表示,平面直角坐标系内，与x轴同方向，模为1个单位的 向量叫做x轴上的单位向量，记为：i 与x轴同方向，模为1个单位的向量叫做x轴上的单 位向量，记为：j,=xi+yj=x,y,在空间直角坐标系中，与x 轴、y

6、轴、z 轴的正向同向 的单位向量分别记为 i、 j、k，称为基本单位向量。,设a ，是以M1=(x1,y1,z1)为起点, M2=(x2,y2,z2)为 终点的向量,=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k,a=axi+ayj+azk=ax,ay,az,三、向量的坐标表示,=x2-x1,y2-y1,z2-z1,a 的起点放在坐标原点，那么它的终点坐标 A的坐标就是(ax , ay , az).,由两点间距离公式可知,x,P,Q,y,R,z,A,O,a,b,向量的模,这三个角的余弦 cos 、cos 、cos 称为向量a 的方向余弦.,非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 、 、 (

7、其中0 , 0 , 0 )，称为向量 a 的方向角;,定义：,例 6,已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )，,求 的模及方向余弦以及和向量 方向一致的单位向量.,解,由条件可得,求其合力F 的大小及方向角.,例 7,已知作用于一质点的三个力为,F1 = i2k ，,F2 = 2i 3j + 4k ，,F3 = j + k ，,解,因为 F = F1 + F2 + F3,所以，可得,合力的三个方向角为,查表可得,因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位，,在RLC电路中，阻抗角 是电流电压U与电路电流I的相位差， 称为功率因数，用电容器并联补偿的方法提高功率因数，试用向量图说明功率因数是如何提高的。,案例8：（RLC电路功率因数提高原理）,在RLC电路中，并联电容器后，电压U不变，但总电流I发生了改变，,解：,这样整个电路的功率因数就得到提高。