周第一次课矩阵的秩和初等矩阵.ppt

1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第二章 矩阵,第四节 矩阵的秩,2.4 矩阵的秩,问题：在求解线性方程组时，,增广矩阵 (A,b) 阶梯形矩阵(A1,b1),A1 和(A1,b1)的非零行数与初等行变换有关吗？,初等行变换,基本概念 1. k阶子式,这样的子式共有 个.,k阶子式,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,2. 矩阵A的秩(rank),记为r(A)或秩(A),r(A) = r,A中至少有一个r阶子式D不为零，,A的所有更高阶子式(若存在)等于零.,而3阶子式全为0,因此它的秩为2.,例如,有一个2阶子式,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,第二章 矩阵,

2、2.4 矩阵的秩,命题 2.1 r(A) = r 当且仅当 A 中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,注: (1) 零矩阵的秩规定为0.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,(3) 矩阵Ast的秩满足： r(A) min(s , t) 如果矩阵的秩等于它的行数，则称是行满秩的；类似有列满秩的概念.,可逆矩阵也称为满秩矩阵,注: (4) r(AT) = r(A).,(5) 如果A的每一个k阶子式都等于零，则,(6) 如果A的有一个k阶子式不等于零，则,r(A)k .,r(A) k .,注: 对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说, 按照

3、定义去求它的秩是一件很麻烦的事.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,3,注: 可以证明 命题2.2 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目. 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为阶梯形矩阵.,初等行变换是否改变 矩阵的秩？,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,二. 初等变换和矩阵的秩,引理2.2 若矩阵A经过初等行变换变成B，则 r(A) r(B).,由引理2.2和引理2.3，得,三.矩阵的等价标准形,1. 矩阵的初等列(column)变换,(1) 对换变换: ci cj,(2) 倍乘变换: ci k, 其中k 0,(3) 倍加变换: ci+kcj.,易证矩阵的等价关系满足： (反身性 )A A

4、; (对称性 )若AB,则BA; (3) (传递性)若 AB， BC, 则 AC.,假设 r(As n )= r, 若,进一步有，,B,初等列变换,Er O O O,简化阶梯形,初等行变换,初等变换,等价标准形,对nn矩阵的分类,1. 可逆 和 不可逆；,秩为 0,1,2,n-1,2. 秩为n ;,3. 等价于 En ;,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,2.5 初等矩阵,A B ( r(A)=r(B) ),A 和 B之间 有什么联系?,一. 初等矩阵与矩阵的乘积,P(i, j) =,第i行,1,1,0 1 1 0,1,1,1,1, , ,第j行,第 i 列,第 j 列,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,2. 初等矩阵的可逆性,(1) P(i, j)1 = P(i, j),(2) P(i(k)1 = P(i(k1 ),(3) P(i, j(k)1 = P(i, j(k).,例如3阶初等矩阵P(1, 3(5) =,P(1, 3(5) =,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,3. 矩阵的代数运算与初等变换之间的关系,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,定理 2.4. 对mn矩阵A进行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 对A施行一次初等列