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文档简介

1、9 欧拉方程一、欧拉方程形如xn y( n) +1p xn-1 y( n-1)+ L +pn-1xy +pn y =f ( x)的方程(其中p1 ,p2 Lpn 为常数)叫欧拉方程.特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.作变量变换x = et或 t =ln x,将自变量换为 t ,dy =dxdy dt=dt dx1 dy ,x dtd 2 y =1 d 2 y- dy dx2x2 dt 2,dt d 3 y =1 d 3 y -d 2 y +dy dx3x3 dt 33dt 22,dt 用 D 表示对自变量

2、 t 求导的运算 d ,dt上述结果可以写为xy =2Dy,d 2 ydy2xy=dt 2-= (Ddt- D) y =D(D- 1) y,x3 y =d 3 ydt 3d 2 y-3dt 2+ 2 dydt= ( D3- 3D2+ 2D) y =D( D- 1)( D -2) y,一般地， xky( k )= D(D - 1)L(D - k+ 1) y.将上式代入欧拉方程，则化为以 t为自变量的常系数线性微分方程. 求出这个方程的解后，把 t 换为lnx ，即得到原方程的解.例求欧拉方程x 3 y +x 2 y- 4 xy =3 x 2的通解解作变量变换x = et或 t =ln x,原方程

3、化为D(D - 1)(D -2) y +D(D - 1) y- 4Dy= 3e2t ,即D3 yd 3 y- 2D2 y - d 2 y3Dydy= 3e2t ,2 t或dt 32dt 2+ 3= 3e.dt(1)方程(1)所对应的齐次方程为d 3 ydt 3d 2 y-2dt 2+ 3 dydt= 0,其特征方程r 3 -2r 2- 3r= 0,特征方程的根为r1 =0, r2= -1, r3= 3.所以齐次方程的通解为Y = C1+ C2e-t+ C3e3t= C1+ C2x+ C3x 3 .设特解为y* =be2t=bx2 ,1x2代入原方程，得b = -.32即 y* = -, 2所给欧拉方程的通解为y = C1+ C2x+ C3 x- 1 x2 .2二、小结

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