3.1双曲线及其标准方程

1、,双曲线及其标准方程,寿县迎河中学 龙如山,学习难点： 双曲线标准方程推导过程中的化简.,学习目标： 1.了解双曲线的定义及几何图形； 2.掌握双曲线的标准方程的两种形式； 3.学会利用定义去求解双曲线的标准方程, 并提高自身的运算能力.,学习重点： 双曲线的定义和标准方程； 不同的条件下双曲线的标准方程的求法.,问题1：椭圆的定义是什么？,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。,问题2：椭圆的标准方程是怎样的?,， ， 关系如何？,问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入,画双曲线,演示实验

2、：用拉链画双曲线,画双曲线,演示实验：用拉链画双曲线,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=2a(右支),如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a(左支),由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。,看图分析动点M满足的条件：,根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。,这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。,通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c0)；

3、 常数记为2a(a0).,问题4:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？,一、双曲线的定义,若2a=2c,则轨迹是什么？,若2a2c,则轨迹是什么？,若2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,F1,F2,F1,F2,分3种情况来看：,二、双曲线标准方程的推导, 建系,使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。, 设点,设 是双曲线上任一点，,焦距为 ，那么 焦点 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 。, 列式,即,数学的美！,多

4、么美丽对称的图形！,将上述方程化为：,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,两边同时除以 得：,化简,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).,其中c2=a2+b2.,类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？,其中c2=a2+b2.,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).,三.双曲线两种标准方程的比较, 方程用“”号连接。, 分母是 但 大小不定。, 。,如果 的系数是正的，则焦点在

5、轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。即焦点跟着正的跑,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,四、双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a2c,|MF1|+|MF2|=2a 2c,F（0，c）,F（0，c）,练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,答案：,题后反思： 先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,因此，双曲线的标准方程为,例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到两个焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.,根据已知条件，|F

6、1F2|=10,|PF1|-|PF2|=8，,例题讲解,解：因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为,故,那么,例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.,解法一:,又因为双曲线经过点M(2,-5),方程联立可求得:,因此，双曲线的标准方程为,由题意知,由题意知,双曲线的焦点在 轴上,所以设双曲线 的标准方程为,例题讲解,例2.已知双曲线的焦点是 ,且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.,解法二:,由双曲线的定义知:,双曲线的标准方程是:,双曲线的焦点在 轴上,例题讲解,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮

7、弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例3已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点， |PF1|=10, 则|PF2|=_,3,5,4,4或16,课堂巩固,x2与y2的系数的大小,x2与y2的系数的正负,c2=a2+b2,小结：,（1）推导双曲线的标准方程；,（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程；,（3）类比法。,焦