数学人教版九年级上册22.2.2.2二次函数与一元二次方程课件.ppt

1、22.2.2二次函数与一元二次方程,引言,在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。 如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。 本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。,复习.,1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。, 0,= 0, 0,有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根,b2- 4ac,活动1,2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ， 如果h=0，那50-2

2、0t2= 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 的解。,15,20,0,方程,问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间? (4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?,活动2,h=0,0= 20 t 5 t2,解：

3、（1）解方程15=20t-5t2 即： t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。,（2）解方程20=20t-5t2 即： t2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高度为20m。,（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-44.10，所以方程无解， 球的飞行高度达不到20.5m。,（4）解方程0=20t-5t2 即： t2-4t=0 t1=0,t2=4 球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。,你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？,那么为什么只在一个时间求得高

4、度为20m呢？,那么为什么两个时间球的高度为零呢？,那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?,一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。,自由讨论,练习一： 如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？,解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去) 答：水流的落地点D到A的距离是5m。,分析：根据图象可知，

5、水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。 即：y=0 。,想一想，这一个旋转喷水头，水流落地覆盖的最大面积为多少呢？,1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的图象如图所示。,问题2,(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,答：2个，1个，0个,边观察边思考,b2 4ac 0,b2 4a

6、c =0,b2 4ac 0,O,X,Y,2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。,二次函数与一元二次方程的关系,（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根,(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何？（b2-4ac如何）,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2-4ac .,0,（1）有两个交点,（方程有两个不相等的实数根）,（2）有一个交点,（方程有两个相等的

7、实数根）,（3）没有交点,（方程没有实数根）,1 2 3,x,y,O,例：利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（精确到0.1）,(-0.7,0),(2.7,0),解：作的 图象（右图），它与x轴的公共点的横坐标大约是 .,所以方程 的实数根为,我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。仔细阅读课本P19内容。,x=2时，y0,x=3时，y0,根在2到3之间,1 2 3,x,y,O,2.5,已知x=3,y0,x=2.5时,y0,根在2.5到3之间,1 2 3,x,y,O,2.5,已知x=2.5时,y0,x=2.75时,y0,根在2.5到2.75之间,2.75,重复上述步骤，

8、我们逐步得到：这个根在2.625,2.75之间，在2.6875,2.75之间可以得到：,根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值，例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|=0.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值。,小结,.求抛物线与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离.何时y0?,练习.已知抛物线yx2 m xm.,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_；,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_。,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.

9、,= 1,1,= 2,= 0,.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0） 的值永远为正的条件是_,a0,0,试一试,C,A,?,练习:看谁算的又快又准。,1.不与x轴相交的抛物线是( ) A.y=2x2 3 B.y= - 2 x2 + 3 C.y= - x2 2x D.y=-2(x+1)2 - 3,2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 个交点.,3.已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,D,1,1,16,4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点,与x轴交于点 .,(0,2),5.抛物线

10、y=2x2-3x-5 与y轴交于点,与x轴交于点.,6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(0,-5),(5/2,0) (-1,0),(-2,0) (5/3,0),7.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .,X,Y,0,5,2,2,8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是(

11、) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定,C,X1=0，x2=5,9.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=,10.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围（ ）,-3.3,B,11.根据下列表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A.3 X 3.23 B.3.23 X 3.24 C.3.24 X 3.25 D.3.25 X 3.26,C,例1：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线

12、满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴 （2）请求出球飞行的最大水平距离 （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式,解：（1） 抛物线 开口向下，顶点为 ，对称轴为 （2）令 ，得： 解得： ， 球飞行的最大水平距离是8m （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为 ，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又 点 在此抛物线上， ,练习,C,A,请你把这节课你学到了东

13、西告诉你的同 桌，然后告诉老师？,二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解,讨 论,这节课应有以下内容：,走近中考,1.已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）,A无实数根 B有两个相等实根 C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根,D,2.抛物线 与轴只有一个公共点，则m的值为 ,8,3.抛物线 的对称轴是直线 且经过点（3，0），则 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2,A,4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 的两个根 （2）写出不等式 的解集 （3）写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围 （4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围,3,2,5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。,的一部分，如图,解（1） = ,函数的最大值是,答：演员弹跳的最大高度是,米,（2）当x4时，,3.4BC，所以这次表演