3_舍入误差分析及数值稳定性.ppt

1、三、舍入误差分析及数值稳定性,浮点数系(阶码分析，溢出) 舍入误差的产生(尾数分析、相对、绝对误差) 数值稳定性 算法设计注意事项,August 13, 2020,2,1. 浮点数系,1）组成 用浮点数进行计算是指用固定个数的数位进行工作; 浮点数的表示由正负号、小数形式的尾数、以及确定小数点位置的阶码三部分组成. 2）单精度实数 ( 32位二进制数位 ),尾数数值：1011 0000 0000 0000 0000 000 阶码数值：000 0100 (0.6875)10 (4)10,August 13, 2020,3,3) 阶码分析,单精度实数,一般地,August 13, 2020,4,4

2、) Overflow,对单精度实数系统，当被表示数的量级超过38，则计算机无法表示该数，出现所谓Overflow.,August 13, 2020,5,5) Underflow,对单精度实数系统，当被表示数的量级小于38，则计算机无法表示该数，出现所谓Underflow, 记该数为机器零.（见下页图）,August 13, 2020,6,Underflow(续),August 13, 2020,7,6) 机器数,单精度机器数：(不区分阶码正负零的情形）,一般地，置换 23t , 7s，有,August 13, 2020,8,7) 相邻机器数,August 13, 2020,9,8) 绝对、相对

3、误差,August 13, 2020,10,9) 浮点系统：t+s+2,当不出现溢出时有估计:,August 13, 2020,11,10) Fl(x)的另一种表示,符号圆圈表示加、减、乘、除四种算术运算之一, 并将浮点数的算术运算理想地简化为: 首先精确计算, 然后用浮点数表示.,August 13, 2020,12,加法结合率在进行数值计算时是否一定成立？,例：(a+b)+c的舍入误差分析（a、b、c同号）。,August 13, 2020,13,（续）,结论：浮点机器数的加法并不一定满足结合律, 先加绝对值较小的两数,然后再和另外一数相加, 将会有较小的舍入误差. 更为深刻的意义在于表明

4、: 数学上等价的算法在数值上并不总是等效的.,August 13, 2020,14,2. 数值稳定性,定义：一个算法, 如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制, 或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果, 则称该算法是数值稳定的, 否则称其为数值不稳定.,例：计算如下积分近似值的两种方案比较,方法1：,方法1计算结果,August 13, 2020,16,方法1结果分析 以及方法2,方法一分析：计算结果表明, 舍入误差的传播近似依5的幂次进行增长, 因而是一种不稳定的方法.,方法2：,该方法是稳定的。 初值的近似：,方法2计算结果,August 13, 2020,18,3 算法设计注意的问题,相近数相减的误差传播 例 x=52.127 x*=52.129 四位有效数字 y=52.123 y*=52.121 四位有效数字 A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位有效数字 结论：避免相近数相减 一些避免相近数相减示例 当|x|1时,August 13, 2020,19,算法设计注意的问题(续1),当|x|1时,当|x|1时,August 13, 2020,20,算法设计注意的问题(续2),合理安排量级相差很大的数之间的运算次序, 尽可能避免大数“吃掉”小数。,例,August 13, 2020,21,算法