平面向量基本定理与坐标表示的知识点

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.本节内容在高考中一般不单独命题，常常是结合向量的其他知识命制综合性的小题，这些小题多属于中低档题，问题常常涉及以下几个方面：(1)结合向量的坐标运算求向量的值，如2012年重庆T6等(2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示，如2012年广东T3等(3)结合向量的垂直与共线等知识，求解参数问题，如2011年北京T10等.归纳知识整合1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向

2、量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)

3、，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)探究1.向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x

4、2y1.探究2.相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同如A(3,5)，B(6,8)，则(3,3)；C(5,3)，D(2，6)，则(3,3)，显然，但A，B，C，D四点坐标均不相同3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能表示成吗？提示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等自测牛刀小试1若向量a(1,1)，b(1,0)，c(6,4)，则c()

5、A4a2bB4a2bC2a4b D2a4b解析：选A设cab，则有(6,4)(，)(，0)(，)，即6，4，从而2，故c4a2b.2下列各组向量中，能作为基底的组数为()a(1,2)，b(5,7)；a(2，3)，b(4，6)；a(2，3)，b(12，34)A0 B1C2 D3解析：选C对，由于17250，所以a与b不共线，故a，b可作为基底；对，由于b2a，a与b共线，不能作为基底；对，由于3423120，所以a与b不共线，故a，b可作为基底3设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1C2 D2解析：选A设ab，则即1，又a与b共线且方向相反，0，即1

6、.4(教材习题改编)在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_解析：设(x，y)，(1,3)(2,4)(x，y)，即(1，1)(1，1)(2,4)(3，5)答案：(3，5)5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案：1平面向量基本定理的应用例1如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.自主解答易得b，a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足m(1m) mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足n(

7、1n) na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b.由于a，b为基底，所以解得所以ab.应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解1.如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解：babba，bba，bab.平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，

8、C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.求：(1)3ab3c；(2)M、N的坐标及向量的坐标自主解答由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思

9、想的应用2已知点A(1,2)，B(2,8)以及，求点C、D的坐标和的坐标解：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以有，和解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而(2，4).平面向量共线的坐标表示例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.自主解答(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)

10、，2(34k)(5)(2k)0.k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或故d(3，1)或(5,3)本例(2)成立的前提下，akc与2ba是同向还是反向解：由例题知，k.akc(3,2)(4,1)，2ba(2,4)(3,2)(5,2)，akc(2ba)，又0，akc与2ba同向 利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1

11、”解题比较方便3(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_(2)已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即D点的坐标为(0，2)(2)由题意知ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c得(3)(1)(m1)20，即2(m1)3，所以m.答案：(1)(0，2)(2)1个区别向量坐标与点的坐标的区

12、别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)2种形式向量共线的充要条件的两种形式(1)abba(a0，R)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3个注意点解决平面向量共线问题应注意的问题(1)注意0的方向是任意的；(2)若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2

13、y10.易误警示忽视向量平行的主要条件致误典例(2011湖南高考)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)答案(4，2)1解答本题易误认为“a与b的方向相反ab”，致使出现增解(4,2)，而造成解题错误2解决此类问题常有混淆向量共线与向量垂直的充要条件致误1已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选Da(1,0)，b(0,1)，若k1

14、，则cab(1,1)，dab(1，1)显然，c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1,1)，dab(1,1)，即cd且c与d反向，排除C.2若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析：(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012广东高考)若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10) D(6，10)解析：选A由于(2,3)，(4,7)，那么(2,3)(4，7)(2，4)2如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，

15、且a，b，则()Aba BbaCab Dab解析：选Aababa.3(2013郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(、为实数)，则m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m，解得m2.4已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a等于()A2 B1C. D.解析：选A设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直线yax上，3a3，a2.5已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O

16、(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是()A1B2C3D4解析：选C由题意得kOC，kBA，OCBA，正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确6(2013成都模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于()A. B. C. D.解析：选Cmn(bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得sin BcosAsin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分

17、)7在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)8在ABC中，a，b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则_(用a，b表示)解析：如图所示，()ab.答案：ab9已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.解析：a2b(，1)2(0，1)(，3)，又a2b与c共线，(a2b)c3k0，解得k1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标

18、解：法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)11已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解：(1)(1,2)，(3,3)，t(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，解得t；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若点P在第三象限，则解得t.(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，则，即该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形12若平面向量a、b满足|ab|1，