数列极限与性质.ppt

1、一、数列的有关概念,三、收敛数列的性质,四、课堂练习题,二、数列极限的定义,第三节 数列的极限,一、数列(sequence)的有关概念,例如,注：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,2. 有界性,例如,有界；,无界,同样,3. 单调性,为单调增数列；,单调减数列,单调增数列和单调减数列统称为单调数列,4. 子数列 (subsequence),注意：,例如，,二、数列极限的定义(Limit of a sequence),容易看出：,亦即当n越来越大时,越来越靠近1.,此时我们称1是数列的极限，这就是数列极限 的直观定义。,数列极限的直观定义, 刻画了极

2、限的本质特征,那么“无限接近”“越来越靠近”意味着什么?,但它不是数学定义, 因为“越来越大”和越来,越靠近都不是数学语言, 它只是一种定性的描,述, 我们需要将它转换为数学语言。,如何用数学语言刻画它.,度量两个数的接近程度通常使用距离这个概念.,的所有xn与1的距离|xn-1|都小于, 当n越来越大时, xn与1的距离|xn-1|趋于零,而且从N以后,当,数列xn无限接近于1, 对于事先给定的正数,(这个正数可以任意小),一定存在某一时刻N, 距离|xN-1|,越变越小时,始终存在时刻N, 当nN时, 有|xn-1|, 当 时,距离 |xn-1| 0.,(数列点xn向 1聚集),这样我们就

3、用数学的语言刻画了 当n 时, xn无限地接近于1.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,如果对aR,则称数列xn发散。,几何解释:,其中,数列极限的几何意义,n,0123456789 ,A,N, 0, NN 当nN时 有|xna| .,存在NN,当nN时,点xn一般落在邻域(a-,a+)外;,当nN时点xn全都落在邻域(a-, a+)内:,对任意给定0,就存在a的邻域(a-,a+),记为U(a,),由于具有任意性,也就是说邻域U(a,)的长度可以任意收 缩到0,但不管它有多小, 从nN以后的数列的所有的无穷 个点xn始终在U(a,)内,而在邻域外的点始终只有有限个.,例1,证,所以,例2,

4、证,例3,证,得,于是,解不等式,取,当,通常求不等式,的解比较复杂,此时常常将不等式,适当放大后,解新的不等式来证明极限。,数列极限“-N”定义的剖析, 的任意性 的作用在于用来刻画数列中的项xn 和某一常数a的接近程度,在“-N”定义中,必须是可以 任意小的正数,这是的本质特征.正因为如此,不等 式|xna |e才能刻画出xn无限接近于a。,的相对固定性 尽管具有它的任意性,但当一 经给定，便应暂时看作不变的，否则瞬息万变，我 们无法求得N，验证工作也就无法进行。,1) 的两重性,不等式|xn-a|右端的可以写成c或k等函 数f(),其中c,k为常数,只要能保证右端项f()可以任 意小就可

5、以。,数列极限“-N”定义的剖析,N是根据给定的求出来的,它与有关.一般说来 给出在前,N随着的变小而增大，我们经常将N写成 N(),用来强调N是依赖而存在的. N的作用是指出在n无限增大的过程中有一个“时 刻”,其后所有的自然数n所对应的数列中的项xn都应 全落入U(a,)邻域中，也即满足不等式|xna |e。,只要N确实存在,一经求出其大小则是无关紧要的, 因为比N大的任意正整数或任意实数都可以担当N这 个角色，因此不必要求最小的N。,2) N的相应性,用“ -N”定义验证,的过程就是根据找N的,过程,而找N的过程就是解 |xn-a| 不等式的过程，,对任意给定的0, 通常将 |xn-a|

6、 适当放大成(n),或限制n大于某个正,使之变形为,整数N0, (nN0), 这种放大和限制的目的是易于从不,等式中解出N, 即,令N=max N0 , , 则当nN时，此时就有,因为我们不需要找出最小的N,因而可以适当放大,但,注意放大后的(n)要满足(n)0,(当n),论证步骤,解绝对值不等式,适度放大,下面举例练习 利用极限定义证明极限存在的例子,例4,分析:,证明, 0, NN nN时 有|xna| .,例5.,证:, 0,由于,要使 | xn a | ,则当 n N 时,有,例6. 如下关于,的证法错在那里？,所以,证：,为了使,即要使,则有,则当nN时，就有不等式,成立。,分析:,

7、证明,例7 证明,这是一个不易求解的绝对值不等式，必须使用放大法,为了去掉绝对值，不妨设n4,则有,对任意0,取N=1/即可。,所以,在这个例子中,为什么可以随意假定n4呢？ 我们知道,对于给定的0，相应的N是不唯一的, N可以取得很大,因此可以在比4大的正整数中去 寻找N，并不失一般性，却给“放大”带来了 方便。 从“-N”定义的实质上来说，一个数列是否 收敛,与它前面的有限项的取值情况毫无关系， 这就是说，去掉一个数列的有限项并不改变这 个数列的敛散性，因此我们可以根据证题需要 随心所欲地假定n大于某一个自然数。,例8,证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立.,(2) 设 a 1,从

8、而,这里用到了伯努利不等式., 0,(3) 设 0 a 1,即 0, N, 当nN时, 有, .,(因 0 a 1),综合得,例9,证,例10. 证明,证: 先证k=1时的情况。,所以0，要使,则当nN时, 有,令 a=1+h, 则 h0,于是,当 k1时,注意到 a1/k1。令 b=a1/k，,由前面所证，对0，N, 当nN时，有,从而,则 b1,于是,即,例11,证明,用反证法,假设极限存在且设极限为a,另一方面，又因为,例12,证,其中,又因为,所以,此题的逆命题是否成立呢？,存在，但,即若,不一定存在。其最简单的反例如,答案是否定的！,不一定成立。,三、收敛数列的性质,性质1（极限的唯

9、一性）,收敛数列的极限必唯一.,证,由定义,故收敛数列不可能有两个极限.,收敛数列必为有界数列.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.反之有 界数列未必是收敛数列. 如例11.,推论 无界数列必定发散.,性质2（有界性）,性质3（保号性）,证,这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则 该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.,推论1,可由性质3（保号性）反证.,推论2 若数列xn,yn满足,4. 子数列 (subsequence),注意：,例如，,性质4（收敛数列与其子数列间的关系）,这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于 不同的极限，则该数列是发散的.,再证例11,证：取原数列的偶子列x2n和奇子列x2n+1,则它们有不同的极限，故该数列是发散。,由性质4，必要性显然。,例13,证：,充分性：,对0, 由条件,N1,当nN1时，有,N2,当nN2时，有,取N=ma