九年级数学《4.1-4.6一元二次方程及解法1-6课时》学案

1、4.1一元二次方程学习目标1 知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（0）2 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3 会用试验的方法估计一元二次方程的解。学习重点难点：1一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。学习过程一、知识准备：（1）正方形桌面的面积是2m，求它的边长？解：设正方形桌面的边长是xm，根据题意，得(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花

2、圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？解：设花圃的宽是 xm则花圃的长是(19-2x)m根据题意，得整理的（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？解：设平均每年增长的百分率是x根据题意，得整理，得（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 解：设梯子滑动的距离是X米。根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4X）米，梯子的底端与墙的距离是（3X）米。根据题意得X整理。得二、学习内容：像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，

3、并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown) 2.看谁眼力好:下列方程中那些是二元一次方程。3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。4.现学现用：指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：5.典型例题例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项三、知识梳理：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为（0），一元二次方程的项及系

4、数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性达标测试1、若 是关于的一元二次方程，求p的取值范围 2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4）3、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） （2）（x-2）(x+3)=8 （3）4、方程（2a4）x 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程5、已知关于x的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2，求m

5、。6、 是关于的一元二次方程，求m的值。一元二次方程的解法 （1） 一、学习目标1、 了解形如（的一元二次方程的解法2、 会用直接开平方法解一元二次3、 在直接开平方法解一元二次方程的过程中，体会转化的思想。重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系二、知识准备1、如果那么x叫做a的_,记作_;2、如果,那么记作_;3、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。三、学习内容问题1、如何解方程：？（使学生注意直接开平方法的实质和操作过程）问题2、比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。例题教学：例1、解下例方程1、 2、提出问题：你是怎么解

6、一元二次方程的？每一步的依据是什么？你有什么经验能与大家交流一下吗？例2、解方程：分析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；课堂练习：解下例方程：1、（x1）24 = 0 2、12（3x）23 = 0提出问题：通过这几个小题你有什么收获？（如果一个一元二次方程具有（xm）2= n（n0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）四、知识梳理问题1：用直接开平方法解一元二次方程的主要步骤是什么？问题2：任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明五、

7、达标检测达标检测一1、用直接开平方法解方程（xh）2=k ，方程必须满足的条件是（）Ako Bho Chko Dko2、方程（1-x）2=2的根是（ ）A.-1、3 B.1、-3 C.1-、1+ D.-1、+13、下列解方程的过程中，正确的是（ ）(1)x2=-2,解方程，得x= (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1=;x2=(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-44、解下例方程(1)4x2=9 (2)3(2x+1)2=12达标检测二1、解下例方程：（1）（2）45x20； （2）

8、12y2250；（3）16x2250. （4） 4x2102、解下例方程(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25；3、一个球的表面积是100 cm,求这个球的半径。（球的表面积 R,其中R是球的半径）一元二次方程的解法 （2）一、学习目标1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式二、知识准备1、 请说出完全平方公式。 （ab）2 = （a-b）2 = 2、 用

9、直接开平方法解下例方程：（1） （2）3、思考如何解下例方程（1） （2）（通过设计富有启发性的问题，激发学生的学习兴趣，同时也渗透了类比的思想）三、学习过程问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？ 问题2、能否将方程转化为（的形式呢？ 由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（xm）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。解下例方程（1）4x30. （2）x23x1 = 03、学生自学“数学实验室”通过自学P86-P87理解为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？四、知识梳理问题1：配方

10、法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；(5)x2+px+ =(x+ )2；2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。达标检测二1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=5

11、72、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）A. B. C. D. -3、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（）A.9 B.7 C.2 D.-24、用配方法解下列方程：（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；（3）x2+8x+9=0； （4）y2+2y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。一元二次方程的解法 （3） 一、 知识目标1、 会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，

12、体会转化的思想重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式二、知识准备1、用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？三、学习内容问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？对于二次项系数不为1的一元二次议程，如何用配方法求解？引导学生交流思考与探索（对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解）问题2、对于二次项系数是负数的一元二次方程，如何用配方法求解？例题教学：解下例方程：-四、知

13、识梳理问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程达标检测一1、填空：(1)x2-x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2.2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4 C.x2-2x+1=+1 D. x2-2x+1=-+15、用配方法解下列方程：（1）； （2）达标检测二1、用

14、配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t2-7t-4=0化为(t-)2=C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=2、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0；3、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于.4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.5、一个小球竖直上抛的过程中,它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系:h=24t-5t2.经过多少时间,小球离上抛点的高度是16

15、m?一元二次方程的解法 （4）一、知识目标1、 会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac03、在公式的推导过程中培养学生的符号感重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误二、知识准备：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？三、学习内容问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为，方程两边都除以，得 移项，得 配方，得 即 问题

16、2、为什么在得出求根公式时有限制条件b24ac0？。由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。例 6 解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4四、知识梳理引导学生总结：1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。3、若解一个一元二次方程时，b24ac0，请说明这个方程解的情况。五、达标检测一1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a0)形式为 ，b2-4ac= .2、方

17、程x2+x-1=0的根是 。3、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（ ）A.16 B. 4 C. D.644、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）A.x1.2= B. x1.2=C. x1.2= D. x1.2=6、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 . 7、方程的解为 8、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-229、已知y=x2-2

18、x-3，当x= 时，y的值是-3 10、用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。一元二次方程的解法 (5) 一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b24ac对根的情况的判断作用2、能用b24ac的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值二、 知识准备一元二次方程ax2bxc = 0（a0

19、）当时，X1,2 = 1、 解下例方程（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3 2、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例 解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b24ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。2、 你能得出什么结论？由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由b24ac来判定： 当b24ac0时，方程有 当b24ac = 0时，方程有 当b24ac 0时，方程 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b24ac 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b24ac 当一元二次方程没有实数根时，b24ac 例题教学不解方程，判断下列方程根的情况：1、； 2、； 3、四、知识梳理请同学们议一议一元二次