matlab课件第六章在信号与系统中的应用

1、第 6章 在信号与系统中的应用,例6.1 连续信号的MATLAB描述,（1）单位冲激函数 （2）单位阶跃函数： （3）复指数函数,例6.2 LTI系统的零输入响应,n阶线性时不变连续系统的微分方程 已知y及其各阶导数的初始值为y(0),y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。 解：方程的解为 p1, p2,pn是方程a1n+a2n-1+ an+ an+1 =0的根, C1，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。,例6.2 LTI系统的零输入响应(续),C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0,例6.2 LTI系统的零输入响应(续)

2、,即 VC = Y0 其解为 C =V Y0 式中 V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander。调用方法: V=vander(p),例6.3 n阶LTI系统的冲激响应,n阶微分方程，写成系统函数为： 冲击响应就是H(s)的拉普拉斯反变换，可以把H(s)展开为极点留数式。 其反变换为,例6.4 卷积的计算,根据卷积公式： 因此编程的过程为： （1）写出h(t)的MATLAB表达式； （2）写出u(t)的MATLAB表达式； （3）利用MATLAB的卷积语句y=conv(u，h)求解 （4）画曲线plot(t,y)。,例6.5 LTI系统的零状态响应,设二阶连续系统 求其冲激响应。

3、若输入为u = 3t + cos (0.1t)，求其零状态响应y(t)。 解：特征方程 2+2 + 8 = 0 求出其特征根为p1，p2及相应的留数r1，r2，则冲击响应为： 输出y(t)可用输入u(t)与冲击响应h(t)的卷积求得。,例6.6 有重极点时的计算,n级放大器，每级的传递函数均为0/(s+0)，求阶跃响应，画出n不同时的波形和频率特性。 解：阶跃信号下系统的输出为 求Y(s)的拉普拉斯反变换，即得到阶跃响应y(t)。 遇到的困难是重极点，公式复杂，且结果不稳定。为了避开重极点问题，可以有意把极点拉开一些，例如设n个极点散布在-0.950到1.050之间，那样也就可当非重极点来列程

4、序。,例6.7 方波分解为多次正弦波之和,图示的周期性方波，其傅里叶级数为 分别计算 直到9次谐波，并做图。,例6.8 全波整流信号的频谱,周期信号f(t)可展开为直流与各次谐波之和，即 其中， 是基波角频率，T为周期。 全波整流电压Us(t)的波形如图所示。用傅里叶级数可求得其偶次谐波幅值 k=2,4,6, 奇次谐波为零。,例6.8 全波整流信号功率（续）,信号每周期的有效值Us1可由数字积分求得 取前n项分量的功率求出的有效值Us2为 用可以衡量所取谐波是否包含了原波形的主体。,例6.9 周期信号的滤波,图示滤波电路，如激励电压us(t)为全波整流信号，求负载R两端的直流和各次谐波分量。

5、解：输入信号为多频的 网络的输出由分压确定,例6.9 周期信号的滤波(续),信号幅度随频率而变 元件和系统函数都是频率的函数 因此输出电压为 由此式可求得UR的各次谐波。,例6.10 调幅信号通过带通滤波器,已知带通滤波器的系统函数为 激励电压u1(t) = (1+cost ) cos (100t) 求（1）带通滤器的频率响应； （2）输出的稳态响应u2(t)并画出波形。 解：将激励信号u1(t)展开为傅立叶级数,例6.10 调幅信号通过滤波器(续),带通滤波器的频率响应为 可画出其频率响应，并求各个分量通过滤波器后的幅度和相位变化，再将各分量叠合，得到 按此信号作出图形与原有信号比较。,例6

6、.11 方波的频谱分析,将积分上下限定为010s，并将t分成N等份，用求和代替积分。这样，傅立叶变换式可写为 求和可以用f(t)行向量乘以e-jtn列向量来实现。式中t是t的增量，在程序中，用dt表示。,例6.11 方波的频谱分析(续),求不同处的F值，都用同一公式，这就可以利用MATLAB中的元素群运算。将设为一个行数组，代入上式，则可写为（程序中用w表示） 其中，F是与w等长的行向量，t 是列向量，w是行向量，t *w是一矩阵，其行数与t相同，列数与w相同。这样，此式就完成了傅里叶变换。 类似地也可得到傅里叶逆变换表示式为,例6.11 方波的频谱分析(续),算得的时域信号波形及其频谱图如右

7、。 下图为采样周期较低时的情况，有明显的频率泄漏。,例6.12 信号通过滤波器,计算幅度为1，宽度为5s的矩形脉冲（同例6.11）通过下列滤波器的响应。 （1）理想低通滤波器， （2）低通滤波器 解： 滤波器输出的频谱 Y(j)=F(j)H(j) 其时间响应y(t)是Y(j)的傅里叶反变换。,例6.12 信号通过滤波器(续),（1）理想低通滤波器的截止角频率c=10，故只取F(j)中 = 010的部分，用MATLAB语言表述，输出频率分量对应的的下标数组为 n2 = find (w= wc) x1=zeros(1,ns-n0),1,zeros(1,nf-ns); 用逻辑关系编程：n1 = n0

8、:nf; x1=(n1-ns)=0 （2）单位阶跃序列，起点n0，终点nf，在ns前为0,在ns后为1(n0nsnf)。 n2=n0:nf;x2=zeros(1,ns-n0),ones(1,nf-ns+1); （3）复数指数序列。 n3 = n0:nf; x3=exp(-0.2+0.5j)*n3);,例6.14 解差分方程的递推程序,描述线性时不变离散系统的差分方程为 编写解上述方程的通用程序。 解： 建模 可用递推法解差分方程，移项如下： 于是得y(n)=(b*us - a(2:na)*ys)/a(1) 这里需要n = 0之前的y和u， 而MATLAB变量下标不能取负数。需要作一些技巧性的处

9、理。,例6.14 递推解差分方程(续),本例中的处理方法是另设两个变量ym和um，使ym(k) = ys(k-na+1)，um(k) = us(k-na+1)，这相当于把y和u右移na-1个序号，故ym和um的第1到na-1位相当于y和u在起点之前的初值。 注意在程序中，随着计算点的右移，要随时更新相应于公式中的向量us和ys。,例6.15 离散系统对输入的响应,描述LTI系统的差分方程为 y(n) - y(n-1) + 0.9y(n-2) - 0.5y(n-3) = 5u(n) - 2u(n-1) + 2u(n-2) （1）如已知y(0) = -2，y(-1) = 2，y(-2) = -0.

10、5，求零输入的响应，计算20步。 （2）求单位脉冲的响应h(n)，计算20步。 （3）求单位阶跃的响应g(n)，计算20步。 解：利用例6.14的通用程序 （1）令us = zeros(1，20); ym = -1/2， 2，-2； （2） 令us = 1，zeros(1，19) ；ym = 0，0，0 （3）令um = ones (1, 20)； ym = 0，0，0；,例6.16 二阶数字滤波器的频响。,低通滤波器的系统函数（传递函数）为 求其频率响应。 解：利用多项式求值的函数polyval，分别求出分子分母多项式在z=exp(jw)时的值，求其比值。它是对应于w数组的复数数组，其幅值为

11、幅特性，相角为相特性。然后绘图。 也可用信号处理工具箱中的freqz函数快速求解，但为了弄清原理，这里不提倡。,6.4.1 模型的典型表达式,1连续系统 状态空间型 设x为状态变量，u为输入，y为输出，系统的状态方程为： 如果系统是n阶的，输入有nu个，输出有ny个，则A为nn阶，B为nnu阶，C为nyn阶，而D为nynu阶矩阵，对单输入单输出(SISO)系统，ny=nu=1。,6.4.1 模型的典型表达式(续), 传递函数型 单输入单输出(SISO)n阶系统的传递函数为 知道分子系数矢量f =f (1)，f (2)，f (m + 1)，分母系数矢量g =g(1)，g(2)，g (n+1)，就

12、惟一地确定了系统的模型（注意系统的阶次n）。而对物理可实现的系统，必有nm。,6.4.1 模型的典型表达式(续), 零极增益型 对传递函数分子和分母进行因式分解，可得 令z = z(1)，z(2)，z(m)为系统的零点矢量，p = p(1)，p(2)，p(n)为系统的极点矢量，k为系统增益，它是一个标量。可以看出，H(s)有m个零点、n个极点。物理可实现系统的nm，系统的模型将由矢量z，p及增益k惟一确定，故称为零极增益模型。零极增益模型通常用于描述SISO系统。并可以推广到MISO系统。,6.4.1 模型的典型表达式(续), 极点留数型 如果零极增益模型中的极点都是单极点，将它分解为部分分式

13、，可得 其中p =p(1)，p(2)，p(n)仍为极点矢量，而r =r(1)，r(2)，r(n)为对应于各极点的留数矢量，p，r两个矢量及常数h惟一地决定了系统的模型。,6.4.1 典型表达式的比较,比较一下这四种情况下模型系数的总个数。假定都是SISO系统，阶数为n，则状态空间型有n2+2n+1个系数；传递函数型为m+n+1个(不含g(1) (注意，由于mn，系数的数目小于等于2n+1)；零极增益型的系数个数为n+m+1；而极点留数型为2n+1。 因此，传递函数法的待定系数最少，而状态空间法的待定系数最多。这说明了状态空间法中有许多冗余的系数。事实上，同一个系统可以有无数个状态空间矩阵A，B

14、，C，D的组合来描述，其他描述方法则都是惟一的。,6.4.1 离散模型的表达式,2离散系统 以上四种表示模型的方法可以全部推广至离散系统。只是将系数矩阵后面加小写字母d，便有： 状态空间型 xn + 1 = Adxn + Bdun yn = Cdxn + Ddun 传递函数型 零极增益型,6.4.1 离散模型的表达式(续), 极点留数型 数字信号处理模型 二阶环节型 表6.1列出了连续和离散线性系统的模型式。,6.4.2 模型转换,MATLAB中各种模型转换的函数,6.4.2 模型转换（续）, 传递函数型到零极增益型 已知f，g，求z，p，k，即知道多项式求根。可用MATLAB内部函数root

15、s， z=roots(f)，p=roots(g)，k= f(1)/g(1) 零极增益型到传递函数型 已知z，p，k，求f，g，即已知根求多项式。可用MATLAB内部函数poly，它是roots的逆运算，即有 f=poly(z)*k，g=poly(p),6.4.2 模型转换（续）, 传递函数型到极点留数型及反向变换 知道传递函数的系数g求其极点p，方法同上，而求其中某极点处留数r，可用专用函数residue，格式为 r，p，h=residue(f，g) 可直接由f，g求出r，p，k。由极点留数型到传递函数型仍可用同一函数。 f，g = residue(r，p，h) residue函数根据输入变元

16、的数目为二或三个，决定变换的方向。,例6.17 由传递函数模型转换为零极增益和状态空间模型,已知描述系统的微分方程为 （1） （2） 求出它的传递函数模型、零极增益模型、极点留数模型和状态空间模型。 解：（1）f = 2，-5，3; g = 2，3，5，9; （2）f = 1，3，2; g = 1，5，7，3; 本例中用MATLAB的基本函数编程，在熟练后均可用工具箱函数tf2zp，tf2ss及residue函数求得。,例6.18 由状态空间转为传递函数,设SISO系统的状态方程为： 如果系统是n阶的，则A为nn阶，B为n1阶，C为1n阶，而D为11阶。给定A，B，C，D，就建立了系统模型。

17、对状态方程取拉氏变换，解出H(s)= f(s)/ g(s)，得 故有f(s) = Cadj(s I-A) B +Dg(s)。 g = poly(eig(A) = det(sI-A),例6.19 系统的串联、并联和反馈, 系统的串联 由图所示，YB= WBUB = WBWAUA = WU 故W(s) = WA(s) WB(s) 多项式相乘由卷积函数conv实现，其表示式为： f = conv(fA，fB)， g = conv(gA，gB) 系统的并联 Y= WAU + WBU = (WA+WB) U = WU 故 W(s) = WA(s) + WB(s) f = polyadd(conv(fA，

18、gB)，conv(fB，gA) g = conv(gA，gB),例6.19 系统的串并联和反馈, 系统的反馈 系统的连接方法如图6.18-3。复合系统的传递函数 故MATLAB表达式为 f=conv(fA，gB) g=polyadd(conv(fA，fB)，conv(gA，gB),例6.20 复杂系统的信号流图计算,设信号流图中有ki个输入节点，k个中间和输出节点，它们分别代表输入信号ui（i=1，2，ki）和系统状态xj（j=1，2，k）。信号流图代表它们之间的联结关系。用拉普拉斯算子表示后，任意状态xj可以表为ui和xj的线性组合 用矩阵表示，可写成： 从而得到 传递函数 H = (I -Q)-1P 这个简明的公式就等价于梅森公式。,例6.20,由图列出方程为 x1 = u x2 = x1-x3-x5 x3 = G1x2 x4 = x1+x3-x5 x5 = G2x