逻辑代数基础.ppt

1、第一章 逻辑代数基础,学习要点： 逻辑函数的表示 逻辑代数的公式与定理 逻辑函数化简,1.1 概述,1.1.1数字量和模拟量(自学),重点掌握： 1.二进制的表示方法(P2) 在二进制数中，每一位仅有0和1两个可能的数码，所以计数基数为2。低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”，故称为二进制。 展开式,D=Ki2i,1.1.2数制与码制(自学),2.数制转换 (1)二十转换 (2)十二转换 3.码制 表1.1.1几种常见的BCD代码 重点读熟8421码，余3码， 以及循环码的编写规则。,00 01 11 10,000 001 011 010 110 111 101 100,二位循环码 的编写

2、规则,三位循环码 的编写规则,1.1.3二进制数的正负表示方法,b7b6b5b4b3b2b1b0 以最高位作为符号位，正数为0；负数为1。以下各位为0和1表示数值。 1.原码用上述的方法表示的数码称为原码。 例：(01011001)2=(+89)10 (11011001)2=(-89)10 2.补码正数的补码和它的原码相同； 负数的补码通过将原码的数值逐位求反，然后在最低位上加1得到。,1.2 逻辑代数中的三种运算,逻辑约定(P513)： (1)正逻辑关系高电平(H)用逻辑“1”表示 低电平(L)用逻辑“0”表示 (2)负逻辑关系高电平(H)用逻辑“0”表示 低电平(L)用逻辑“1”表示 (3

3、)正负逻辑转换 1)若逻辑变量取反，则该逻辑变量的对应点应加上或消去表示负逻辑极性的小圆圈。,&,A B,F,&,A B,F,2)若一个门的输入、输出端加上(或消去)小圆圈，或输入输出变量同时取反，则“与”符号和“或”符号应相互转换。,&, 1, 1,A B,A B,A B,F,F,F,(1)定义只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。这种因果关系叫做逻辑与。,(2)模型(图1.2.1(a),1.与,(3)真值表(表1.2.1),A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1,(4)逻辑符号(P10),&,A B,Y,(5)逻辑方程,Y = A B,(6)波形分析,A,B

4、,Y,A,B,Y,(1)定义在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。这种因果关系叫做逻辑或 。,(2)模型(图1.2.1(b),A,B,Y,2.或,(3)真值表(表1.2.2),A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1,(4)逻辑符号(P10),A B,Y,(5)逻辑方程,Y = A + B,(6)波形分析,A,B,Y,1,(7)与或关系的相对性 在同一电路中，使用不同的逻辑规定则逻辑功能不同。 若将低电平“0” “1” 高电平“1” “0” 则正逻辑“或” 负逻辑“与”,A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1,A B Y 1 1 1 1

5、 0 0 0 1 0 0 0 0,(1)定义只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非。,(2)模型(图1.2.1(C),A,Y,R,(3)真值表(表1.2.3),A Y 0 1 1 0,(4)逻辑符号(P10),A,Y,1,(5)逻辑方程,Y = A,3.非,4.其他类型逻辑门,1)逻辑符号(P11),&,A B,Y,2)真值表(表1.2.4),3)逻辑方程,A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0,Y = A B,4)波形分析,A,B,Y,(1)与非,(2)或非,1)逻辑符号(P11),A B,Y,2)真值表(表1.2.5),3)

6、逻辑方程,A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0,Y = A + B,4)波形分析,A,B,Y,1,5)与非或非关系的相对性 若将低电平“0” “1” 高电平“1” “0”， 则 正逻辑 负逻辑 “或非” “与非”,A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0,A B Y 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1,(3)与或非,1)逻辑符号(P11),Y = A B + C D,A B C D,Y,&,1,2)逻辑方程,(4)异或,1)逻辑符号(P11),A B,Y,2)真值表(表1.2.7),A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0,

7、Y = A B,4)波形分析,A,B,Y,=1,3)逻辑方程,(5)同或,1)逻辑符号(P11),A B,Y,2)真值表(表1.2.8),A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1,Y = A B = A B = A B + A B = A B + A B,4)波形分析,A,B,Y,=,3)逻辑方程,1.3 基本公式和常用公式,序号1 0A=0 11 1+A=1 2 1A=A 12 0+A=A 3 AA=A 13 A+A=A 4 AA=0 14 A+A=1,序号5 AB=BA 15 A+B=B+A 6 A(BC)=(AB)C 16 A+(B+C)=(A+B)+C 7 A(B+C

8、)=AB+AC 17 A+B C=(A+B)(A+C),1.基本公式 (表1.3.1),证明17式：1)真值表法，2)公式法,序号 8 A B=A+B 18A+B=A B,序号9 A=A 10 1=0；0=1,2.若干常用公式,序号21 A+AB=A,22 A+AB=A+B,23 AB+AB=A,24 A(A+B)=A,25 AB+AC+BC=AB+AC,26 AAB=AB；AAB=A,用公式法证明22式,用公式法证明25式,1.4 基本公理,1.代入定理用一函数代替一组变量，等式不变。,例：Z=ABC=HC=H+C=A+B+C,2.反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“.”换成“+”

9、，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y 。,注意运算规则： 1.按括号,乘号, 加号顺序 2.不属单个变量上的反号应保留不变,3.对偶定理 (1)对偶规则对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，则得到的结果就是Y 。,P = H P = H,同样要注意运算规则： 1.按括号, 2,乘号, 3.加号,(2)对偶定理,表1.3.1中18式与1118式互为对偶式,(2) (AB)C=A(BC) (3) A(BC)=ABAC (4) A1=A A0=A AA=0 AA=1 如果 AB=C 则 A

10、C=B BC=A,满足 (1) AB=BA,4.关于或运算,定义 A B=A B+A B A B=A B+A B,=A,“1”,=A,1.逻辑函数反应输出与输入之间的函数关系 Y=F(A,B,C,.),1.5 逻辑函数及其表示法,2.逻辑函数的表示方法 (1)真值表 填写规则：1)包含全部的变量(N=2n) 2)按二进制编码规则排列,例：举重裁判电路 按正逻辑规定： A，B，C按下“1” 不按“0” 灯亮“1” 灯不亮“0,B,Y,C,A,图1.5.1,A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

11、,(2)逻辑函数 1)最小项之和 最小项 a定义(P21) b性质(P21) 用最小项写函数的规则 a.找Y=1的项, b.对应Y=1的各项,输入变量为1取变量本身,变量为0取其反,然后取各变量的乘积, c.取以上各乘积之和。,Y(A,B,C)=ABC+A BC+ABC =m (5,6,7) =m mi (i=5,6,7),A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,2)最大项之积 最大项 a定义(P22) b性质(P22) 用最大项写函数式的规则 a.找Z=0的项； b.对应Z=0的各项,输入

12、变量为0取变量本身,变量为1取其反,然后取各变量的和, c.取以上各和之乘积。,Z(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(0,1,2,3,4)= Mk,A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,ki,(3)逻辑图,&,Y,A B C,1,要求掌握各种表示方法间的互相转换,真值表,逻辑函数式,逻辑图,(4)卡诺图用几何图形表示逻辑函数(P28),卡诺图,1.6 公式化简法,1.最简形式 (1)表达形式(同一逻辑功能用多种形式的表达式) 1)与

13、或式,Y=AB+AC,2)或与式,Y=(A+C)(A+B),=AA+AB+AC+BC,=(A+C)(A+B),3)或非或非式,Y=A+C+A+B,4)与非与非式,Y=AB AC,=(A+B)(A+C),(2)最简标准,5)与或非式,Y=AB+AC,1)项数最少,Z=A+AB,=A,2)每项中因子最少,Z=A+AB,=A+B,3)级数最少,A,A,2.化简方法 (1)并项法,Z=ABC+AB C,=AB(C+C),=AB,(2)吸收法,Z=AB+ABCD,=AB(1+CD),=AB,(3)消项法,Z=AC+AB+B+C,=AC+AB+B C,=AC+B C,(4)消因子法,Z=A+AB+AC,=

14、A+A(B+C),=A+B+C,Z=AB+AC+BC,=AB+ABC,=AB+C,(5)配项法,Z=AB+AC+BC,=AB+AC+BC+BC,=1,(6)利用对偶定理,Z=(A+C)(A+D)(B+C)(B+D),Z=AC+AD+BC+BD =C(A+B)+D(A+B) =(A+B)(C+D),Z=AB+CD,(7)利用代入定理,Z=(A+B+C)(D+E) (A+B+C+DE),设 H=A+B+C,Z =H(D+E) (H+DE)=(H+DE)(H+DE) =HDE+HDE+DE=DE,(8)利用反演定理,Z=(A+C)(A+D)(B+C)(B+D),Z =AC+AD+BC+BD=(A+B

15、)C+(A+B)D =(A+B)(C+D),Z =Z=AB+CD,1.7 卡诺图化简法,1.卡诺图表示法 (1)构想(P29),N=1,A,A,N=2,A A,B B,N=3,A,B,C,N=4,A,B,C,D,AB,A B,A B,(2)相邻原理,如果两个最小项中除了一个变量不同外，其它的都相同，那么这两个最小项在逻辑位置上具有相邻。,(3)卡诺图的画法 1)变量取值的顺序按循环码排列 2)所对应的方块可用十进制序号标注,N=3,A,BC,0 1,00 01 11 10,0,1,2,3,4,5,6,7,N=4,AB,CD,00 01 11 10,00 01 11 10,0 1 3 2,4 5

16、 7 6,8 9 11 10,11 12 15 14,(4)逻辑方式，真值表与 卡诺图的关系,Y(A,B,C)=ABC+A BC+ABC =m (5,6,7),A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,A,BC,0 1,00 01 11 10,1 1 1,(5)用卡诺图表示逻辑函数 1)展开成标准型,Y=A B C D+A B D+A C+A B =m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m14 +m15 =m(1,4,6,8,9,10,11,14,15),AB,CD,00 01 11

17、10,00 01 11 10,1,1 1,1 1 1 1,1 1,2)用观察法,A,B,C,D,2.化简方法 (1)合并最小项的规则 a.合并2项 两个最小项相邻可合并为一项,并消去一个因子。,b.合并4项 四个最小项相邻可合并为一项,并消去两个因子。,A,BC,0 1,00 01 11 10,1,1,1 1,A B C+A B C=A B,A B C+A B C=A C,AB,CD,00 01 11 10,00 01 11 10,1 1 1,1 1 1,1 1 1,1 1 1,CD,B D,BC,c.合并8项,AB,CD,00 01 11 10,00 01 11 10,1 1,1 1,1 1

18、 1 1,1 1 1 1,八个最小项相邻可合并 为一项,并消去三个因子。,B,D,(2)读写函数时不能 多读问题,AB,CD,00 01 11 10,00 01 11 10,1,1,1 1 1,1 1 1,1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简,1.概念 (1)约束在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样一种情况，即输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制称为约束。,例：设电动的正转A=1 反转B=1 停止C=1 那么A，B，C之间的取 值存在有约束,ABC Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ,(3)约束项把这些恒等于0的最小项,(2)约束条件不允许出现的变量组合对应的 最小项等于0来表示,ABC Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ,A B C=0 A B C=0 A B C=0 A B C=0 A B C=0,或,A B C+ABC+ABC+ABC+ABC=0,在存