02章流体的运动

1、第二章 流体的运动,理想流体的定常流动 理想流体的伯努利方程 黏性流体的运动,物态 物体根据存在的形态分为固态、液态和气态. 流体(fluid) 气体与液体没有一定的形状,各部分之间极易发生相对运动,具有流动性,因而被统称为流体.,人类长期生活在空气和水环境中,逐渐地对流体运动现象有了认识,现举二例.,1. 高尔夫球表面光滑还是粗糙？,2. 汽车的阻力来自前部还是后部？,流体的运动广泛存在于我们的周围及生命体内.掌握流体的运动规律,有助于理解日常生活中发生在身边的流体运动现象,深入研究人体的血液循环、呼吸过程以及相关的医疗仪器设备.,流体动力学(hydrodynamics) 研究流体运动规律及

2、其与边界相互作用的学科.,一. 基本概念,流体质元 宏观小、微观大的区域中流体分子的集合.,连续介质 将流体看作是大量的宏观小、微观大的流体质元组成并研究其宏观行为,因此可忽略物体微观结构的量子性,这种物质模型就是连续介质.,2-1 理想流体的定常流动,流体运动的描述方法,统计公交车的客运量时,可采用两种方法:,(2)在每个站点设统计员,统计不同时刻经过该站点公交车上下车的人数,称为当地法.,(1)在每辆公交车上设统计员,统计其在不同时刻(站点)上下车的人数,称为随体法.,拉格朗日法(随体法) 直接采用牛顿质点力学方法,把流体分成许多流体质元,每个流体质元服从牛顿定律,跟踪并研究每一个流体质元

3、的运动情况,把它们综合起来,掌握整个流体运动规律的研究方法.,拉格朗日(J. L. Lagrange, 1735-1813) 法国数学家、物理学家.,欧拉法(当地法) 研究各流体质元的速度、压强、密度等物理量对流经的空间及时间的分布规律,即从场的观点、整体上来把握流体的运动.,欧拉 (L. Euler, 1707-1783) 瑞士数学家、力学家、天文学家、物理学家.,可压缩性 流体的体积(或密度)随压强大小而变化的性质,称为流体的可压缩性.,黏滞性 实际流体流动时,速度不同的层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力,流体的这种性质称为流体的黏滞性.流速大的一层给流速小的一层以拉力,流速小的一层给流

4、速大的一层以阻力.,流体的黏滞性,理想流体(ideal fluid) 不可压缩又无黏性的流体.,流场(flow field) 每一点都有一个流速矢量与之相对应的空间称为流速场,简称流场.,流 场,交错排列管道群中的流场,协和式飞机着陆时的流场 (正视图),流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线,曲线上的任意一点的切线方向,与流过该点流体质元的速度方向一致.,流体流过不同形状障碍物的流线,流线,流体运动时,若流线有头有尾不形成闭合曲线,这样的流动称为无旋流动,对应的流场为无旋场;若流线无头无尾形成闭合曲线,这样的流动称为有旋流动,如河流中的涡旋,对应的流场为有旋场.,缓慢的水流,龙

5、卷风,流管(stream tube) 在流体内部,由流线围成的细管.,流管,非定常流动 流场中各点的流速随时间的变化而改变,流线的形状亦随时间而变的流动.,定常流动 流场中各点的流速不随时间变化的流动.,特点 流线不随时间改变,不同时刻的流线不相交;流管形状也不随时间改变,流管内的流体不会流出到管外,流管外的流体不会流入到管内.,二. 连续性方程,流体作定常流动时,在任一细流管内取与流管垂直的两个截面S1 和S2 与流管构成封闭曲面,流体由S1流入,从 S2 流出,如图所示.,当选取的流管截面足够小时,流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的.若设S1 和S2 处流体的速度分别为 v1 和

6、v2,流体的密度分别为 1 和 2.,连续性方程推导,由于流体是作定常流动,流管内各点流体的密度不随时间改变,因此封闭曲面内流体的质量不会有变化,即在t 时间内,从S1 流入封闭曲面流体的质量 m1 应等于由 S2 流出流体的质量 m2,即,m1= m2,1(v1t)S1=2(v2t)S2,1 v1 S1=2 v2 S2,上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的,一般可以写成,Q m = v S=常量,其中 Q m称为质量流量,此式称为定常流动的连续性方程,也称为质量流量守恒定律.,对于不可压缩流体, 为常量,则有,v1 S1= v2 S,及 Q v = v S=常量,式中 Q v 称为

7、体积流量.,该式称为不可压缩流体的连续性方程,也称为体积流量守恒定律.,连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒.这些方程均是对细流管而言,若不是细流管,则 v、 应理解为其在截面 S 上的平均值.,由连续性方程可知:,(1)不可压缩流体作定常流动时,流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量.,(2)同一流管,截面积较大处流速小;截面积较小处流速较大.,(3)流场中,流线密集处流速较大;流线稀疏处流速较小.,哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的一个很好例证.,人体血液循环示意图,血液循环,血液流速与血管总截面积的关系,河道宽的地方水流比较缓慢,而河道窄处则水流较急.,穿

8、堂风 城市风,交通拥挤,1738年伯努利(D. Bernoulli)提出了著名的伯努利方程.,一.理想流体的伯努利方程,丹伯努利(Daniel Bernoull, 1700-1782)瑞士科学家.,2-2 理想流体的伯努利方程,在定常流动的理想流体中,取任一细流管,设某时刻 t,流管中一段流体处在 a1a2 位置,经很短的时间t,这段流体到达 b1b2 位置,如图所示.,由于流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化, b1a2 段流体的运动状态在流动过程中没有变化.,伯努利方程,根据能量守恒定律及功能原理,可推得,考虑到 S1、 S2 的任意性,上式还可以写成,此两式称为理想流体的伯努

9、利方程.,伯努利方程给出了理想流体作定常流动时,同一流管上任一截面处流体的压强、流速和高度之间关系.,方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具体表现.由于 , gh 和 p 都是压强的量纲,因此常称 为动压强, ghp为静压强.,显然 , gh 分别相当于单位体积流体所具,有的动能和重力势能,而p则可视为单位体积流体的压强能.,推导中,选择的是一段细流管内流体的运动,所涉及的压强 p 和流速 v 实际上是细流管横截面上的平均值.若令 S0,流管就演变为一条流线,伯努利方程中的各量则表示在同一流线上各点的取值. 可得以下结论: 重力场中的理想流体作定常流动时,同一流管内(或流线上)各点,二. 伯

10、努利方程的应用,(一)压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时,伯努利方程可以直接写成,或,在流体力学中,伯努利方程十分重要,应用极其广泛.,表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势能之间的转换关系,即高处的压强较小,低处的压强较大.,两点的压强差为,体位对血压的影响,(二) 流速与高度的关系,在自然界、工程技术和我们的日常生活中,存在着许多与容器排水相关的问题,如水库放水(泻洪与发电)、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等,其共同的特点是液体从大容器经小孔流出.,水库大坝,水电站,小孔流速,管涌,铜壶滴漏,“寸金难买寸光阴”对我们

11、来说是再熟悉不过的诗句了,其中揭示了计量时间的方法. 我国古代用铜壶滴漏计时,使水从高度不等的几个容器里依次滴下来,最后滴到最低的有浮标的容器里,根据浮标上的刻度也就是根据最低容器里的水位来读取时间.,请说明其计时原理.,铜壶滴漏,(三) 压强与流速的关系,平行流动的流体,流速小的地方压强大,流速大的地方压强小(例).,在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1h2,伯努利方程可直接写成,流速计原理,问题: 气体流速如何测量,皮托管,Q =S1 v1= S2 v2,流量计,例 用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管,从水库里取水,如图所示.已知虹吸管的最高点

12、C比水库水面高2.50 m,管口出水处D比水库水面低4.50 m,设水在虹吸管内作定常流动.,(1)若虹吸管的内径为1.5010-2m2,求从虹吸管流出水的体积流量. (2)求虹吸管内B、C两处的压强.,(1)取虹吸管为细流管,解:水面为参考面,则有A、B点的高度为零, C点的高度为2.50m, D点的高度为- 4.50 m.,对于流线ABCD上的A、D两点,根据伯努利方程有,结果表明,通过改变D点距水面的垂直距离和虹吸管内径,可以改变虹吸管流出水的体积流量.,由连续性方程有,因SA远大于SD,所以vA可以忽略不计,pA= pD=p0. 整理后得,(2)对于同一流线上A、B两点,应用伯努利方程

13、有,根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vB=vD.,结果表明,在稳定流动的情况下,流速大处压强小,流速小处,压强大.B点压强小于大气压,水能够进入虹吸管.,对于同一流线上的C、D两点,应用伯努利方程有,均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vC=vD ,整理得,虹吸管最高处C点的压强比入口处B点的压强低,正是因为这一原因,水库的水才能上升到最高处,从而被引出来.,2-3 黏性流体的运动,层流,一. 黏性流体的运动,甘油缓慢流动,管内甘油的流动是分层的,这种流动称为层流(laminar flow).,层流示意图,流体层流时,流动稳定,相邻各层以不同的速度作相对运动,彼此不相混合.,这

14、对作用力为流体的内摩擦力,也称为黏性力.,流体的黏性力,牛顿黏滞定律 黏度,黏性流体作层流时,速度的逐层变化可以用速度梯度来定量表示.,相距x的两流层的速率差为v ,则 表示这两层之间的速率变化率.,称为沿 x 方向(与流速方向垂直)的速率梯度.,黏性流体的流动,实验证明,流体内部相邻两流体层之间黏性力 F,牛顿黏滞定律,比例系数 称为黏度或黏性系数,是反映流体黏性的宏观物理量. 流体的黏性系数与物质的性质有关,还与温度有关.,一般说来,液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力,古人开凿运河,用于运输;用机油润滑机械,减少磨损,延长使用寿命,都是这一原理的应用.气体的黏滞性则更小,气垫船的使用就是利

15、用了气体的这一特性.,遵从牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体(水、酒精、血浆),不遵从牛顿黏滞定律的流体称为非牛顿流体(血液、胶体溶液和燃料水溶液).,湍流,黏性流体作层流时,层与层之间仅作相对滑动而不混合.但当流速逐渐增大到某种程度时,层流的状态就会被破坏,出现各流层相互混淆,外层的流体粒子不断卷入内层,流动显得杂乱而不稳定,甚至会出现涡旋,这种流动称为湍流(turbulent flow).,核爆蘑菇云,火山爆发,流体在作湍流时,能量消耗比层流多,湍流发声的强度要远远大于层流,而且音调也有显著的差别,这在医学上具有实用价值.,利用湍流的这一特性,医生能用听诊器辨别出血流的非正常情况,从而诊断某些

16、心血管疾患;通过听取支气管、肺泡呼吸音的正常与否,诊断肺部疾病.测量血压时,在听诊器中听到的声音,也是血液通过被压扁的血管时,产生湍流所发生的.,雷诺系数,雷诺(OReynolds)最早对湍流现象进行系统研究, 1883年他通过大量的实验,证实了流体在自然界存在两种迥然不同的流态,层流和湍流.,雷诺 (Osborne Reynolds 1842-1912)英国力学家、物理学家、工程师.,雷诺在实验中发现,玻璃直圆管道中的黏性液体,其流动状态是层流还是湍流主要取决于比例系数(后人称之为雷诺数, Reynolds number)Re 的大小.,式中 液体的密度, r 为管道的半径, v 是液体的平

17、均流速, 是液体的黏性系数.,雷诺数是一个无量纲的纯数,它是鉴别黏性流体流动状态的唯一的一个参数.,实验表明,对于刚性直圆管道中的黏性流体: Re1000 时,流体作层流; Re1500时,流体作湍流; 1000Re1500时,流体可作层流,也可作湍流,称为过渡流.,烟缕由层流转变为湍流,Re 1,Re =1.54,Re9.6,Re=2000,不同雷诺数的圆柱绕流流场,根据雷诺系数,讨论影响流体流动状态的因素.,管口突变对流动状态的影响,生理流动 人体中时刻存在着各种生理流动,对生命和健康最重要的是血液循环与呼吸系统.健康人体的血管和气管等流动管道都具有良好的弹性,管壁可以吸收扰动能量,起着稳

18、定流场的作用,因而生理流动的临界雷诺数(由层流转变为湍流时的雷诺数)要远远超过刚性管流的临界雷诺数.,人体主动脉按直径不同,其雷诺数约在1000 1500,在正常情况下,血流仍保持层流状态.在气管和支气管中气体的流动也是类似的,正常呼吸时,气体一直保持层流状态,只有当深呼吸或咳嗽时,才会发生湍流,此时,雷诺数峰值可高达不可思议的50000,在相同雷诺数条件下,层流的摩擦阻力和能量损耗要远远低于湍流,而湍流中的物质交换和化学反应又比层流充分得多.难怪力学专家会发出惊叹:人体已经发展成为近乎最优化的系统.,然而,一旦循环系统或呼吸系统管道弹性减弱,则吸收扰动能量的能力就要大打折扣.如果管道(循环系

19、统的管道还应包括心脏瓣膜在内)发生狭窄阻塞,内壁粗糙时,就容易引发湍流,湍流旋涡还会对病变的管壁造成进一步的损伤.,雷诺数相等的流场具有相同的流动状态和性质.,建立在相似性原理基础上的风洞、水洞试验(几何相似的小尺度模型).,流动的相似性原理,在流体力学工程的模拟实验中有着重要的应用.,流动相似性,二. 黏性流体的运动规律,黏性流体的伯努利方程,均匀水平管中黏性流体的压强分布,循环系统各类血管中的血压,泊肃叶公式,由图可知,要使管内的黏性液体作匀速运动,必须有外力来抵消液体的内摩擦力,这个外力就是来自管道两端的压强差.,均匀水平管中黏性流体的压强分布,1840年泊肃叶通过大量实验证明,在水平均

20、匀的细长玻璃圆管内作层流的不可压缩黏性流体,其体积流量 Q 与管道两端压强梯度 及管半径 R 的四次方成正比,即,泊肃叶 (J. L. M. Poiseuille 1799-1869)法国生理学家.,若令,或,Rf 称为流阻,医学上称为血流阻力.流阻的国际制单位制是帕秒米-3(Pasm-3).,则,三. 物体在黏性流体中的阻力,静止流体中的物体受到浮力的作用,黏性流体中的运动物体(根据运动的相对性,也可以看成是物体静止,流体运动)则会受到阻力作用.由流体的黏滞性所导致的这种阻力,表现为直接的黏性摩擦阻力与间接的压差阻力.,黏性摩擦阻力,流体与物体作相对运动时,物体表面附着了一层流体(附面层,即

21、边界层),附面层内的流体存在速率梯度,层内与物体相接触的流体微团的流速为零,层外侧的流体微团则具有流体的速度,层与层之间存在内摩擦力,表现为对物体的黏性摩擦阻力.附面层外可近似为无黏性流场.,当物体速度不大或个体较小时,物体所受到的黏性摩擦阻力与速度成正比,即,F = k v,斯托克斯阻力公式,1851年斯托克斯研究了小球在粘性很大的液体中缓慢运动时所受到的阻力问题,给出计算阻力的公式,斯托克斯 (G.G.Stokes, 1819-1903)英国力学家、数学家.,让半径为 r 的小球在黏性流体中自由下沉,开始时,小球受到方向向下的重力和方向向上的浮力作用,重力大于浮力,小球加速下降.随着速度的

22、增加,黏性摩擦阻力逐渐增大.当小球的下降速度达到一定值时,重力、浮力和黏性摩擦阻力三力平衡,小球匀速下降,小球这时的速度称为终极速度(terminal velocity)或沉降速度(sedimentation velocity),用vT表示.,若小球的密度为 ,流体的密度为 ,则小球所受的重力为 ,浮力为 ,黏性摩擦阻力为 6rvT ,小球达到终极速度时,三力平衡,有,终极速度,当小球(例如空气中的尘粒,雾中的小雨滴,黏性液体中的细胞、大分子、胶粒等)在粘性流体中下沉时,终极速度与小球的大小、密度差、重力加速度成正比.对于非常微小的颗粒(细胞、大分子、胶粒) ,可利用高速或超速离心机来增加有效

23、 g 值,加快其沉降速度.,离心分离,用,代替g,对于混合悬浮液体,根据斯托克斯公式,可采用增加悬浮介质粘度、密度和减小悬浮颗粒尺寸的方法,来降低液体流速,提高其流动的稳定性.,涡旋尾流,当物体运动速度增大,因黏性的作用,在物体的后部,附面层的流体质元减速并从物体表面脱落(流动分离).,流动分离旋涡脱落,物体前方的流体不能及时填充物体后的空间,导致已流到后方的外层流体回旋过来补充,使物体的后部出现涡旋尾流区.,流动分离现象,圆球尾流中的卡门涡街,压差阻力,由于物体前部流体的相对流速几乎为零,压强大,涡旋区通常是低压区,因此,伴随着涡流的产生,物体前后之间产生压强差,出现阻碍物体运动的压差阻力.

24、,压差阻力也是因流体的黏性产生的,但与黏性摩擦阻力有不同机制,它们同时存在.对于高速运动,涡旋一旦产生,压差阻力将取代黏性摩擦阻力成为阻碍物体运动的主要因素.,压差阻力主要取决于流体流到物体后半段时,能否紧贴物体表面流动.流体脱离物体表面越早,涡旋尾流区越大,压差阻力就越大.,不同流动状态下流动分离的位置不同,实验发现,物体后段的截面积缓慢减小,附面层流体微元可以较长时间地附着在物体表面,压差阻力也就越小.,有同样阻力的不同物体,所以高速运动的物体,如航空器、车船等都被设计成能减少涡旋产生的收缩尾部流线型.,动物与流线型,粗糙球与光滑球的阻力差异,小球在运动时,流体在小球的背面都将产生分离,这个分离是压差阻力产生的主要原因.低速时,两球都处于层流,两者的