非齐次线性方程组

1、非齐次线性方程解的结构的进一步探讨本文通过矩阵初等变换和非齐次方程解的性质，进一步讨论了非齐次方程解的结构问题，虽然非齐次方程解向量的整体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们发现了与齐次方程基解系相似的解向量群。 此外，任何解都能够通过该解向量组线性地表示。 最后给出了非线性方程组具有全非零解的充要条件，给出了相应的例题。关键词：非零解、基础解系、线性无关、初等变换引言非二次线性方程()的矩阵形式取.得到下一个线性方程组称为非线性方程组的导出组。 我们知道，下列非线性方程式的解具有以下性质(1)如果非二次线性方程组的一个解是其导出组的一个解，则也是一个解。证明：因为是非二次线性方程组的一个

2、解，所以有，如果有，所以是非二次线性方程组的解。(2)如果是非二次线性方程组的两个解，则是该导出组的解证明：由、所以有，因此导出群的解。2 .定理(非二次线性方程组解的构造定理)非二次线性方程组的一个解，其导出组的解，非二次线性方程组的解。证明：从性质(1)可知，加上该导出组的一个解仍然是非二次线性方程式的一个解，所以非二次线性方程式的任何一个解必须取为该导出组的任何一个解的和由性质(2)可知，是导出组的一个解，可以得到非下一个线性方程式的任意解和该导出组的一个解的和。根据以上定理，可以用基础解系表示下一个线性方程组的解的整体。 因此，根据定理可以用导出一般方程组的一般解的组的基础解系表示，如

3、果是方程组(I )的一个特解，是该导出组的一个基础解系，则(I )的任何解都可以表示如下3 .根据上述第二个证明过程，可知下一个线性方程组的解都可以用基解系线性表示(其基解系包括解向量)，即任意实数。 那么，非二次线性方程组中有解时，最多有几个不依赖于线性的解向量的所有解怎么表现？定理当下一线性方程的基础解系数存在不是下一线性方程的解时，其最多具有与线性无关的解向量，并且其可以表示为满足关系式的任何实数。证明： (I )如果是非二次线性方程组的解，如果是非零解向量，则向量组、线性无关(否则可以用线性表示，与是解矛盾)。 那么，易证都是解，线性无关。 这表示至少有一个不依赖于线性的解向量。接下来

4、，再次验证最多有一个不依赖于线性的解向量。反证：如果有不依赖于线性的解向量，则是容易证明的解，不依赖于线性。 因为像这样存在不依赖于线性的解向量矛盾，所以最多应该存在不依赖于线性的解向量。对于(ii )的任何解，必定可以表示为其一个特解和其导出组的基础解系的线性组合，即任意常数那么(任意实数，组合系数之和等于1 .这表明，的任意解可以用这样的形式来表现。另一方面，由于都是解，所以相对于此，只要满足就是解，所以的解可以表示为满足关系式的任意的实数。例2作为线性方程组的解的是其导出组的基础解系。 证明：线性方程的任意解。证明：可由问题设定的方程式的任意解可表示为(常数)如果下命令的话(1)引理：通

5、过初等行变换变换为阶梯状矩阵，简化该梯形矩阵各非零行的最初非零元素(从左开始)为1，且该元素所在列的其他元素为零的阶梯状矩阵的行的阶梯状矩阵。定理：存在非对称线性方程的全非零解的充分条件是其扩展矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且行简化阶梯型矩阵的各非零行的非零元素个数在2以上证明：必要性如果方程组具有非零解，则必须满足方程组的条件，因此.排名为，简化阶矩阵设置如下(2)对应的方程式在某一方的话这与方程(2)和所有非零解相一致，使得每个()存在至少一个()，即，存在行(2)的至少两个非零元素。充分性：使n为充分大的正数，将其带入(2):()、()时，明显成立。 在上式右端存在至少一个非零系数，设最初的非零系数为因为因此，存在足够大的正数，()；取得，可以使用()这样，可以得到方程式的完全非零解例1联立方程式有全非零解的充足条件吗？解：其扩展矩阵的简化步长矩阵因此，根据上述定理可知，该方程组具有全非零解的充分条件是任意的实数。已知非齐次线性方程式中有3个线性五官的解(I )证明方程系数矩阵的秩；(ii )求出的值和方程式的解。解： (I )作为非齐次线性方程组的三个线性无关解，