26.1二次函数课件.ppt

1、,银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).,y = 100(x+1)=100 x + 200 x + 100,y是 x的一次函数吗？是反比例函数吗？,y =5x + 100 x + 60000,y = 100 x + 200 x + 100,要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?,1.设

2、矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积 y m2。试将计算结果填写在下表的空格中： 2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式。,观察函数关系式 ， （1）函数关系式的自变量有几个? （2）多项式分别是几次多项式? （3）函数关系式有什么特点?,（1）有1个。 （2）二次多项式。 （3）用自变量的二次多项式来表示的。,提示,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数（quadratic function）

3、，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,注意,x 的取值范围是全体实数。,（1） y=ax （a0，b = 0，c = 0） （2） y=ax + c （a0，b = 0，c0） （3） y=ax + bx （a0，b0，c = 0）,注意,的三种不同表示形式,等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,回顾,反比例函数的图象,一次函数的图象,二次函数的图象是什么样子的？,一条直线,双曲线,前面的 中,这些函数值有什么特点？,y = (100+x)(6005x) =5x + 100 x + 60000,60375,60420,60455,60480,

4、60495,60500,60495,60480,60455,60420,60375,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y = x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.,观察 这个函数的图象，它有什么特点?,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-

5、4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-2,-4,-6,-8,y = - x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.,-10,观察 这个函数的图象，它有什么特点?,观察姚明的投篮,二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？,抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 。,抛物线,抛物线,抛物线,这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=

6、0时,函数 y的值最小， 最小值是0.,当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1 当x=2时，y=4,y,抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y = x2,y = - x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴上方(除顶点外),在x轴下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随

7、着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = x2、y= - x2,a0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同,顶点都是原点(0,0),只是开口 大小不同,在同一坐标系中作二次函数y= -x2和y=-2x2的图象，会是什么样?,a 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.,顶点都是原点(0,0),只是开口 大小不同,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最

8、大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = ax2,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴都是y轴; 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1),位置不同; 最小值不同: 分别是

9、1和0,在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样?,y = x2,不用描点法，你知道 y = x21、 y = x21 的图象是怎样的吗？,y = x2 1,y = x2 1,例如：,二次函数上下平移 的口决,上加下减,y = x2,y = x2 1,y = x2 1,向上平移1个单位,向下平移1个单位,y = a (xh)2,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,向上平移k个单位,向下平移k个单位,一般：,顶点式,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y

10、轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = ax2 + c,在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴不同； 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(1,0),位置

11、不同; 最小值相同,二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴不同； 增减性相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(2,0),位置不同; 最小值相同,在同一坐标系中作二次函数y =2(x1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次函数左右平移 的口决,左加右减,y = 2x2,y = 2(x+1)2,向左平移 1 个单位,向右平移1个单位,例如：,y = 2(x1)2,y = ax2 k,向左平移h个单位,向右平移h个单位,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,一般：,你能说出函数 的图象与函数 的图象的关系吗?,向右平移1个单位,向上平移2个单位,向右平移1个

12、单位,向上平移2个单位,或者,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,y = a (xh)2 k 顶点式的特点,顶点坐标：,对称轴：,（h，k）,x = h,当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下；,二次函数的一般式 y=ax+bx+c 的图象是怎样的？,提取二次项系数,配方:加上并减去一次项系数一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,配方法,y = ax+bx+c 一般式,

13、顶点坐标：,对称轴：,（1）设矩形的一边AB= x cm，那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少?,在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.,M,N,最大面积问题,x cm,b cm,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c 有最小（大）值 。,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,1. 二次函数：,2、抛物线：,二次函数的图象都是抛物线。,一般地，抛物线 y=ax

14、2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,3、抛物线 y=ax2 的图象 ：,4、抛物线 y = a (xh)2 k 图象的移动 ：,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,（1）当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下； （

15、2）对称轴是直线 x=h； （3）顶点坐标是（h，k）.,5、抛物线 y = a (xh)2 k （顶点式）的图象特点：,顶点坐标：,对称轴：,6、抛物线 y = ax+bx+c （一般式） 的图象特点：,y = ax+bx+c,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c 有最小（大）值 。,7. 二次函数的最值问题：,1.下列函数中,哪些是二次函数？,（1）y = 3(x1) + 1,（3）s=32t2,（5）y=(x + 3)x2,（6） v =10r,（是）,（是）,（不是）,（是）,（不是）,（不是）,2. 用总长为6

16、0m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？,是二次函数关系式。,解：S = a( a)=a(30a) = 30aa =a + 30a,4. 如果函数 y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是_。,0,3. 如果函数 y= +kx+1 是二次函数，则k的值一定是_ 。,0或3,5. 你能说出函数 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?,函数 的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，-2）；当x0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=-2。,6. 你能再画出函数 的

17、图象，并将它与函数 的图象作比较吗?,函数 的图像向上平移2个单位可以得到函数 的图像。,7. 不画出图象，你能直接说出函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？,因为 ，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，2）,8. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。,（1）抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是（1，6）； （2）抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是（1，6）,9. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式。,10. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m与球队n之间的关系式。,设长方形的

18、宽为x，面积为y，则y=2x2. y=2(1x)2. 略. 抛物线 y = 4x2的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，抛物线 开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点.,说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 (1) y=5x2 (2) y=-3x2 +2 (3) y=8x2+6 (4) y= -x2-4,向上，y轴 （0, 0),向下，y轴 （0, 2),向上，y轴 （0, 6),向下，y轴 （0, - 4),下面，我们探究二次函数 y = ax-h2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.,画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点,2,8,4.5,2,0,

19、0,2,8,4.5,2,可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线x=1，顶点是（1，0）；抛物线 的开口向_，对称轴是_直线_，顶点是_,下,x = 1,( 1 , 0 ),归纳与小结,二次函数y = ax-h2的性质:,（1）开口方向：,当a0时，开口向上; 当a0时，开口向下；,（2）对称轴：,对称轴直线x=h;,（3）顶点坐标：,顶点坐标是（h，0）,（4）函数的增减性：,当a0时，,对称轴左侧(x h时)y随x增大而减小， 对称轴右侧(x h时)y随x增大而增大；,当a0时，,对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。,

20、（5）最值,抛物线 与抛物线 有什么关系？,可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ,上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线下移，高度变低，要使y变小，则需要减。） 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x变大了，要使y不变，则需要x 减。）,说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 (1) y=2(x+3)2 (2) y=-3(x -1)2 (3) y=5(x+2)2 (4) y= -(x-6)2 (5) y=7(

21、x-8)2,向上, x= - 3, ( - 3, 0),向下, x= 1, ( 1, 0),向上, x= - 2, ( - 2, 0),向下, x= 6, ( 6, 0),向上, x= 8, ( 8, 0),1 抛物线y= -3(x+2)2开口向 ，对称轴为 顶点坐标为 . 2 抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线 向 平移 个单位得到的 3写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式为,下,X= - 2,( -2, 0),y=3x2,左,0.5,y=2(x+2)2,4 .对于任何实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2 的 相同 5 .将抛物线y

22、= -2x2向左平移一个单位，再向右平移3个单位得抛物线解析式为 . 6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 .,方向，大小,y= - 2(x 2)2,0,7.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为 . .8已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.,( - 2, 0) (0, - 12),x2,x2,9.二次函数y=a(x-h)2的图像是以 为对称轴的 ，顶点坐标为 .,X=h,抛物线,（h, 0),练习 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：,观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点,1、y= -3

23、(x+2)2展开是y=-3x2-12x-12 2、今天学的y=a(x-h)2是y=ax2+bx+c 中变形（提、配、合、乘）为y=a(x-h)2的情况，变形为y=a(x-h)2+k的情况后面学。 例如:y=-3x2-12x-12和y=-3x2-12x-14,1、比较y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的开口方向，对称轴，顶点，增减性，最值，与坐标轴交点。 2、a的绝对值决定开口大小。 3、说说y=ax2与y=ax2+k,y=a(x-h)2图像的位置关系。 说说 y=ax2与y=-ax2图像的位置关系。,二次函数的 基本形式,一般式：,二次函数的 基本形式,顶点式：,二次函数的 基本形

24、式,交点式：,确定二次函数解析式的一般方法是待定系数法，在选择二次函数的关系式设成什么形式时，可以根据题目的条件灵活选择，以简单为原则，一般地二次函数的解析式可以设为如下三种形式：,课堂小结,（1）一般式（三点式） 当题目给出不特殊的三个点的坐标时，可用此式。,（2）顶点式 当题目给出两点且其中有一个为顶点时，可用此式。,（3）交点式（两点式） 当题目给出三个点，其中有两个点（x1,0) ,(x2,0)为图像与x轴的交点是时，可用此式。,二次函数y=ax2的图象与性质,开口方向 开口大小,对称轴,顶点,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,y轴,顶点是原点（0，0）,复习,a的正负决定

25、抛物线的什么？ IaI的大小决定什么的？,例1. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 1的图象,解:先列表,然后描点,连线, 得到 y=x21, y=x21的图像.,y=x2+1,y=x21,(1) 抛物线y=x2+1,y=x21的开口方向、对称轴、顶点各是什么?,讨论,抛物线y=x2+1:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,抛物线y=x21:,开口向上,顶点为(0, 1).,对称轴是y轴,y=x2+1,y=x21,(2)抛物线y=x2+1,y=x21与抛物线y=x2的异同点:,y=x2+1,抛物线y=x2,抛物线 y=x21,向上平移 1个单位,抛物线y=x2,

26、向下平移 1个单位,y=x21,y=x2,抛物线 y=x2+1,相同点：,形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同,不同点：,顶点的位置不同， 抛物线的位置也不同,归纳,一般地,抛物线y=ax2+c有如下特点:,(1)对称轴是y轴;,(2)顶点是(0,c).,(3)抛物线的开口方向由a的符号决定,例题1,抛物线y= x2向下平移个单位后，所得抛物线为，再向上平移个单位后，所得抛物线为.,二、在同一坐标系中画二次函数的图象：,三、观察三条抛物线：,(1)开口方向是什么？,开口都向下,三、观察三条抛物线：,(2)开口大小有没有 变化？,没有变化,三、观察三条抛物线：,(3)对称轴是什么？,y轴,直线

27、x=-1,直线x=1,三、观察三条抛物线：,(4)顶点各是什么？,-3 -2 -1 0 1 2 3,2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8,x,y,(0,0),(-1,0),(1,0),关于三条抛物 线，你有什么看法？,左右平移得到,用平移观点看函数：,抛物线 可以看作是由 抛物线 平移得到。,(1)当h0时，向左平移 个单位；,(2)当h0时，向右平移 个单位。,二次函数 的图象有如下特点,1. 对称轴为直线x=-h，,2.顶点为(-h，0)。,3.抛物线的开口方向由a的符号决定,1、二次函数 是由二次函 数 向 平移 个单位得到的。,2、二次函数 是由二次函 数 向左平移3

28、个单位得到的。,右,2,归纳与小结,二次函数y = ax2+k的性质:,（1）开口方向：,当a0时，开口向上; 当a0时，开口向下；,（2）对称轴：,y轴,（3）顶点坐标：,顶点坐标是（0，k）,（4）函数的增减性：,当a0时，,对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大；,当a0时，,对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。,归纳与小结,二次函数y = ax+h2的性质:,（1）开口方向：,当a0时，开口向上; 当a0时，开口向下；,（2）对称轴：,对称轴直线x=-h;,（3）顶点坐标：,顶点坐标是（-h，0）,（4）函数的增减性：,当a0时，,对称轴左侧y随

29、x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大；,当a0时，,对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。,26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象,第2课时,例3 画出二次函数 的图象,-5.5,-3,-1.5,-3,-5.5,-1,-1.5,开口方向 对称轴是 顶点坐标是,向下,x=-1,（-1，-1）,观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线有什么关系？,形状相同， 开口方向相同.,顶点不同， 对称轴不同.,抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 ？,抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 ？,再向左平移1个单位，就得到抛物线,把抛物线 先向下平移1个单位，得到抛

30、物线,还有其他平移方法吗？,抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 ？,怎样移动可以得到抛物线,相同,不同,向上,向下,x=-h,（-h，k）,h、k,二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,最值,向上,向下,y=a(x+h)2+k(a0),y=a(x+h)2+k(a0),二次函数的一般式：,（a0）,_是自变量，_是_的函数。,x,y,x,当 y = 0 时，,ax + bx + c = 0,8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号

31、的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根,x,A,1.3,.,9.根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,10. 已知抛物线 和直线 相交于点P(3，4m)。 （1）求这两个函数的关系式； （2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。,解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m1 所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有41824k8 解得 k2 所以 （2）依题意，得 解这个方程组，得 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。,练习：求下列函数的最大值或最小值。,理论,三、新课。,问题一：某商店销售服装，现在的售价是为每件60元， 每星期可卖出300件。已知商品的进价为每件40元， 那么一周的利润是多少？,