周期信号的分解与合成PPT课件.ppt

1、第3章 连续信号与系统的频域分析,1,本章重点和要点,利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱 利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱 理解信号的时域与频域间的关系 掌握傅里叶变换定义、性质、应用 掌握系统的频域分析方法 掌握取样定理及其应用 理解频谱分析在通信系统中的应用,2,引言,回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出响应的思路,信号的分解,求响应,再迭加,时域分析:,卷积积分,频域分析:,傅立叶变换,复频域分析:,拉普拉斯变换,自变量为 S = +,自变量为,自变量为 t,3,结论,LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特

2、性。,4,3.1 信号的正交分解,3.1.1 矢量的正交分解 1. 正交矢量,图 3.1-1 两个矢量正交,5,2. 矢量的分解,图 3.1-3 平面矢量的分解,6,图 3.1-4 三维空间矢量的分解,7,上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2, ，Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即,式中，ViVj=0(ij)。 第r个分量的系数,8,3.1.2 信号的正交分解,1. 正交函数,设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t

3、)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为,9,2. 信号的正交展开,设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有,则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果,则称该函数集为归一化正交函数集。,10,用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即,这种近似表示所产生的平方误差为,11,定理 3.1-1 设gi(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一

4、类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为gi(t)的线性组合， 即,式中，ci为加权系数，且有,式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。,(3.1-14),(3.1-15),12,定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有,式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。,(3.1-16),13,3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,3.2.1 三角形式的傅里叶级数,三角函数集cosnt, s

5、innt|n=0,1,2,是一个正交函数集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt，sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：,14,上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为,15,式中，=2/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的。,16,可得加权系数：,17,狄

6、利赫利条件：,.在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,18,3.2周期信号的分解与合成,3.2.1周期信号的三角级数表示 cosn1t, sinn1t 3.2.2周期信号的复指数表示 e j n 1t ,19,3.1周期信号的分解与合成,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义,1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,2.从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应； 而且每个正弦分量通过系

7、统后，是衰减还是增强一目了然。,20,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,21,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,22,3.2.1周期信号的三角级数表示,任何正常的周期为 T 的函数 f (t) 都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。,直流 分量,基波分量 n =1,基波角频率,23,3.2.1周期信号的三角级数表

8、示,傅立叶系数,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,可取 t0=0，t0=T/2,24,3.2.1周期信号的三角级数表示,周期信号的另一种三角级数表示,25,3.2.1周期信号的三角级数表示,几个系数的关系,26,3.2.1周期信号的三角级数表示,几种系数的特点,是 n 的偶函数,是 n 的奇函数,是 n 的偶函数,是 n 的奇函数,27,3.2.1周期信号的三角级数表示,f (t) 为偶函数时的傅立叶级数,取 t0=T/2,f ( t ) = f ( t )，,偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。,28,3.2.1周期信号的三角级数表示,f (t) 为奇函数时的傅立叶级数

9、,取 t0=T/2,f ( t ) = f ( t )，,奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。,29,3.2.1周期信号的三角级数表示,f (t) 为奇谐函数时的傅立叶级数,f (t) 沿时间轴平移半个周期，,并关于时间轴对称，,此时波形不变，,这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。,当 n 为偶数时：,奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波的正、余弦分量，无偶次谐波分量。,30,3.2.1周期信号的三角级数表示,f (t) 为偶谐函数时的傅立叶级数,f (t) 沿时间轴平移半个周期，,此时波形不变，,这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。,当 n 为奇数时：,偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、余弦分量，无基波和奇次谐波分量。,31,3.2.1周期信号的三角级数表示,P94/例3.21：,求周期矩形波的傅里叶级数展开式。,奇函数：,且也是奇谐函数：,n 为奇数：,32,3.2.2 指数形式的傅里叶级数,式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为,33,式中，相关系数Fn,34,3.2.2周期信号的复指数表示,由3.2.1知